In Wien als Sohn des Künstlerehepaars Walter Bjelik (1905–1941) und Mila Bjelik, geb. Stöhr (1914–1991) geboren, wuchs Martin Bjelik in Bregenz auf, wo er 1958 die Matura machte. 1959–1967 studierte er an der Wiener Musikakademie (der nunmehrigen Musikuniversität) Komposition bei Karl Schiske und Gottfried von Einem, Schlagzeug bei Richard Hochrainer und Musikerziehung sowie das Lehramt Geschichte an der Universität Wien. Seit 1965 wirkte er als Schlagzeuger und 1970–2000 als Paukist beim Niederösterreichischen Tonkünstlerorchester. Seit 1966 war er Pianist und Schlagzeuger beim von Peter Keuschnig gegründeten Ensemble Kontrapunkte, welches mehrere von Bjeliks Kammermusikwerken zur Aufführung brachte.
1992 stellte Martin Bjelik das Komponieren ein und widmete sich vor allem der wissenschaftlichen Beschäftigung mit Stücken von Komponisten der unterhaltenden Musik des 19. Jahrhunderts, die er auch für Aufführungen durch Streichquartette (mit Kontrabass anstelle des Violoncellos) und Bläserquintett arrangierte. Dazu zählten insbesondere Werke von Johann Strauss (Sohn). Erst in den späteren Lebensjahren entstanden wieder eigene Werke, die erneut vor allem vom Ensemble Kontrapunkte in Wien realisiert wurden. Martin Bjelik starb am 2. März 2025 und wurde auf dem Wiener Zentralfriedhof beigesetzt.