Monogenes Signal

Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

Definitionen

Monogenes Signal

Es sei d eine natürliche Zahl und $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ eine Funktion. Dann ist das monogene Signal $f_{M}$ definiert durch

f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),

wobei $R_{j},j=1,\ldots ,d$ die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Riesz-Transformation

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, $j=1,\ldots ,d,$ der Riesz-Transformation $R_{j}$ ist definiert durch

R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y)\,\mathrm {d} y

mit

c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},

wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten $R_{j}$

Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).

Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

Für $d=1$ ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation ${\mathcal {H}}$ und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

\left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)

Zerlegung in Phase und Amplitude

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude $A$ ist in diesem Falle definiert durch

A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},

der lokale Phasenwinkel $\alpha$ durch

\alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,

die lokale Phasenrichtung $u$ durch

u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}

und die lokale Phase $\phi$ durch

\phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.

Beispiel
Testbild Zonenlinse	Lokale Amplitude	Lokale Orientierung (lokale Phasenrichtung als Winkel dargestellt, weiß = $\pi$ , schwarz = 0)	Lokaler Phasenwinkel

Anwendung in der Bildanalyse

Fasst man die Funktion $f$ als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

Literatur

M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144.
S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667.

Software

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne