Morava K-Theorie

Morava K-Theorie ist im mathematischen Teilgebiet der Theorie der Spektren ein spezielles Spektrum oder äquivalent eine verallgemeinerte (Ko)homologietheorie. Für eine (in der Notation unterdrückte) Primzahl ${\displaystyle p}$ bilden diese eine Folge ${\displaystyle K(n)}$ an Ringspektren, also eines für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Morava K-Theorie ist nach Jack Morava benannt, der diese in den 1970ern in nicht veröffentlichten Preprints einführte.

Definition

Sei ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ der endliche Körper mit ${\displaystyle p}$ Elementen. Morava K-Theorie ${\displaystyle K(n)}$ ist das eindeutige komplex orientierte homotopieassoziative Spektrum mit formaler Gruppe von Höhe ${\displaystyle n}$ und mit dem Koeffizientenring:

${\displaystyle \pi _{0}K(n)=\mathbb {F} _{p}[v_{n}^{\pm 1}].}$

Sei ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ der Ring mit ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen. Integrale Morava K-Theorie ${\displaystyle {\widetilde {K}}(n)}$ ist das eindeutige komplex orientierte homotopieassoziative Spektrum mit formaler Gruppe von Höhe ${\displaystyle n}$ und mit dem Koeffizientenring:

${\displaystyle \pi _{0}{\widetilde {K}}(n)=\mathbb {Z} _{p}[v_{n}^{\pm 1}].}$

In beiden Fällen ist ${\displaystyle v_{n}}$ im Polynomring vom Grad ${\displaystyle 2(p^{n}-1)}$.

Beispiele

${\displaystyle K(0)=H\mathbb {Q} }$ ist das rationale Eilenberg-MacLane-Spektrum, welches gewöhnliche rationale singuläre Homologie und rationale singuläre Kohomologie darstellt. ${\displaystyle K(1)}$ ist ein Summand der komplexen K-Theorie ${\displaystyle \operatorname {KU} }$ modulo ${\displaystyle p}$.

Eigenschaften

• Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist Morava K-Theorie ${\displaystyle K(n)}$ ein Körper, also der graduierte Ring ${\displaystyle \pi _{0}K(n)}$ sogar ein graduierter Körper, also jedes nichtverschwindende homogene Element invertierbar.
• Eine zusammenhängende geschlossene spin 10-Mannigfaltigkeit ist verallgemeinert orientierbar in zweiter integraler Morava K-Theorie ${\displaystyle {\widetilde {K}}(2)}$ (für ${\displaystyle p=2}$) genau dann wenn dessen siebte integrale Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle W_{7}}$ verschwindet.

K(n)-lokale Sphären

Für das Sphärenspektrum ${\displaystyle \mathbb {S} }$ (mit ${\displaystyle \mathbb {S} _{n}=S^{n}}$) werden dessen Bousfield-Lokalisierungen ${\displaystyle L_{K(n)}\mathbb {S} }$ auch ${\displaystyle K(n)}$-lokale Sphären genannt.

Siehe auch

• Morava E-Theorie

Literatur

• Jack Morava: Boarding School Lecture Notes. Princeton University 1973 (englisch, mit.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 
• Jacob Lurie: Morava E-Theory and Morava K-Theory (Lecture 22). In: Chromatic Homotopy Theory (Lecture Notes). Harvard University 27. April 2010 (englisch, harvard.edu [PDF]). 
• Jacob Lurie: The Bousfield Classes of E(n) and K(n) (Lecture 23). In: Chromatic Homotopy Theory (Lecture Notes). Harvard University 27. April 2010 (englisch, harvard.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 
• Jacob Lurie: Uniqueness of Morava K-Theory (Lecture 24). In: Chromatic Homotopy Theory (Lecture Notes). Harvard University 27. April 2010 (englisch, harvard.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 

Einzelnachweise

1. ↑ Lurie 2010, Lecture 22
2. 1 2 Lurie 2010, Lecture 24

Weblinks

• Morava K-theory auf nLab (englisch)