Morava E-Theorie

Morava E-Theorie (auch Lubin-Tate-Theorie oder Johnson-Wilson-Theorie) ist im mathematischen Teilgebiet der Theorie der Spektren ein spezielles Spektrum oder äquivalent eine verallgemeinerte (Ko)homologietheorie. Für eine (in der Notation unterdrückte) Primzahl ${\displaystyle p}$ bilden diese eine Folge ${\displaystyle E(n)}$ an Ringspektren, also eines für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Morava E-Theorien gehören zum Fundament der chromatischen Homotopietheorie, in welcher ein Spektrum in sogenannte (mono)chromatische Schichten unterteilt wird, welche aus den Bousfield-Lokalisierungen an den verschiedenen Morava E-Theorien, sogenannten chromatischen Lokalisierungen ${\displaystyle L_{E(n)}}$, konstruiert werden. Morava E-Theorie ist nach Jack Morava benannt, der diese in den 1970ern in nicht veröffentlichten Preprints einführte.

Definition

Für einen perfekten Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$, also in dem alle irreduziblen Polynome separabel sind, der Charakteristik ${\displaystyle p}$ sei ${\displaystyle W(\mathbb {K} )}$ dessen Ring der Witt-Vektoren. Sei ${\displaystyle R=W(\mathbb {K} )[v_{1},\ldots ,v_{n-1}]}$ der Polynomring in ${\displaystyle n-1}$ Variablen, genannt Lubin-Tate-Ring. Nach dem Satz von Landweber über exakte Funktoren definiert ein formales Gruppengesetz über dem Lubin-Tate-Ring eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, welche nach dem Brownschen Darstellungssatz durch ein Spektrum dargestellt werden muss, nämlich genau der Morava E-Theorie ${\displaystyle E(n)}$. Für diese gilt:

${\displaystyle \pi _{0}E(n)=R[\beta ^{\pm 1}]}$

für den Koeffizientenring mit ${\displaystyle \beta \in R}$ in zweitem Grad.

Eigenschaften

• Die chromatische Lokalisierung ${\displaystyle L_{E(n)}}$ erhält Smash-Produkte.
• ${\displaystyle E(n)}$ ist Bousfield-äquivalent zu ${\displaystyle E(n-1)\times K(n)}$. (${\displaystyle K(n)}$ ist Morava K-Theorie. Zwei Spektren sind Bousfield-äquivalent, wenn ihre verallgemeinerten Homologietheorien auf den genau gleichen topologischen Räumen verschwinden. Für jeden topologischen Raum ${\displaystyle X}$, gilt also ${\displaystyle E(n)_{*}(X)=0}$ genau dann wenn ${\displaystyle E(n-1)_{*}(X)=0}$ und ${\displaystyle K(n)_{*}(X)=0}$.)
• ${\displaystyle E(n)}$ ist ${\displaystyle K(n)}$-lokal. (${\displaystyle K(n)}$ ist Morava K-Theorie. ${\displaystyle K(n)}$-lokal bedeutet, dass jeder Spektrenmorphismus ${\displaystyle X\rightarrow E(n)}$ aus einem ${\displaystyle K(n)}$-azyklischen Spektrum ${\displaystyle X}$ nullhomotop ist. ${\displaystyle K(n)}$-azyklisch bedeutet, dass ${\displaystyle K(n)\wedge X\simeq 0}$.)
• Eine zusammenhängende geschlossene spin 10-Mannigfaltigkeit ist verallgemeinert orientierbar in zweiter Morava E-Theorie ${\displaystyle E(2)}$ (für ${\displaystyle p=2}$) genau dann wenn dessen siebte integrale Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle W_{7}}$ verschwindet.

E(n)-lokale Sphären

Für das Sphärenspektrum ${\displaystyle \mathbb {S} }$ (mit ${\displaystyle \mathbb {S} _{n}=S^{n}}$) werden dessen chromatische Lokalisierungen ${\displaystyle L_{E(n)}\mathbb {S} }$ auch ${\displaystyle E(n)}$-lokale Sphären genannt.

Siehe auch

• Morava K-Theorie

Literatur

• Jack Morava: Boarding School Lecture Notes. Princeton University 1973 (englisch, mit.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 
• Mike Hopkins: Complex oriented cohomology theories and the language of stacks. MIT 1999 (englisch, ncatlab.org [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 
• Jacob Lurie: Morava E-Theory and Morava K-Theory (Lecture 22). In: Chromatic Homotopy Theory (Lecture Notes). Harvard University 27. April 2010 (englisch, harvard.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 
• Jacob Lurie: The Bousfield Classes of E(n) and K(n) (Lecture 23). In: Chromatic Homotopy Theory (Lecture Notes). Harvard University 27. April 2010 (englisch, harvard.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 
• Jacob Lurie: The Image of J (Lecture 35). In: Chromatic Homotopy Theory (Lecture Notes). Harvard University 27. April 2010 (englisch, harvard.edu [PDF; abgerufen am 21. August 2026]). 

Weblinks

• Morava E-theory auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Hopkins 1999, Definition 16.4
2. ↑ Lurie 2010, Lecture 22
3. ↑ Lurie 2010, Lecture 23
4. ↑ Lurie 2010, Lecture 35