Exakter Funktor

Ein exakter Funktor ist in der Kategorientheorie ein Funktor, der jede kurze exakte Sequenz auf eine kurze exakte Sequenz abbildet. Für einen exakten Funktor ${\displaystyle F}$ bedeutet dies, dass aus der Exaktheit von ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$ auch die Exaktheit von ${\displaystyle 0\rightarrow F(A)\rightarrow F(B)\rightarrow F(C)\rightarrow 0}$ folgt.

Definition

Ein additiver, kovarianter Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}}$ heißt

• halbexakt, falls ${\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''}$ exakt ist
• linksexakt, falls ${\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''}$ exakt ist
• rechtsexakt, falls ${\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0}$ exakt ist
• exakt, falls ${\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0}$ exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$.

Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}}$ heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ${\displaystyle {\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}}$ ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.

Beispiele

• Die Hom-Funktoren ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,B)}$ sind linksexakt.
• Die Tensorprodukt-Funktoren ${\displaystyle (A\otimes -)}$ und ${\displaystyle (-\otimes B)}$ sind rechtsexakt.
• Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
• Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der ${\displaystyle G}$-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
• Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
• Für eine beliebige natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}$ ist der Funktor

${\displaystyle {\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM}$

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

Einzelnachweise

1. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.
2. ↑ Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.
3. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.