Komonade

Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

Definition

Eine Komonade ist ein Tripel $(T, ε, ψ)$ bestehend aus

einem Endofunktor $T : C \to C$ ,
einer natürlichen Transformation $ε : T \to 1_{C}$ und
einer natürlichen Transformation $ψ : T \to T^{2}$ ,

das folgende Bedingungen erfüllt:

$T ψ \circ ψ = ψ T \circ ψ$ und
$ε T \circ ψ = T ε \circ ψ = 1_{T}$ .

Explizit auf der Ebene von Morphismen von $C$ bedeutet dies, dass für jedes Objekt $X$ aus $C$ gilt

$T (ψ_{X}) \circ ψ_{X} = ψ_{T (X)} \circ ψ_{X}$ und
$ε_{T (X)} \circ ψ_{X} = T (ε_{X}) \circ ψ_{X} = 1_{T (X)}$ .

Koalgebren

Eine Koalgebra für eine Komonade $(T, ε, ψ)$ auf einer Kategorie $C$ ist ein Paar $(X, α)$ bestehend aus einem Objekt $X$ von $C$ und einem Morphismus $α : X \to T X$ , so dass $T α \circ α = ψ_{X} \circ α$ und $ε_{X} \circ α = 1_{X}$ . Ein Homomorphismus von Koalgebren $(X, α) \to (Y, β)$ ist ein Morphismus $f : X \to Y$ in $C$ , der $T f \circ α = β \circ f$ erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie $C^{T}$ .

Es gibt einen kanonischen Funktor $A_{T} : C \to C^{T}$ , der auf Objekten $X \mapsto (T X, ψ_{X})$ ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor $U_{T} : C^{T} \to C$ .

Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

Es seien $C, D$ Kategorien und $F : C \to D$ , $G : D \to C$ Funktoren, so dass $F$ rechtsadjungiert zu $G$ ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien $η : 1 \to F G$ bzw. $ε : G F \to 1$ . Dann ist $T = (G F, ε, G η F)$ eine Komonade auf $C$ .

Man erhält einen induzierten Funktor $A : D \to C^{T}$ , so dass $U_{T} \circ A = G$ und $A \circ F = A_{T}$ gilt. Der Funktor $G$ heißt komonadisch, wenn $A$ eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist $T$ eine Komonade auf einer Kategorie $C$ , dann ist die zum adjungierten Funktorpaar $(U_{T} : C^{T} \to C, A_{T} : C \to C^{T})$ assoziierte Komonade wieder $T$ .

Beispiel

In der Kategorie Set sei der Endofunktor $T$ derjenige der Bildung von $ℕ$ -indizierten Folgen, d. h. für jede Menge $X$ ist $T (X) = X^{ℕ}$ , und für Mengen $A$ und $B$ sowie Abbildungen $f : A \to B$ ist $T (f) : A^{ℕ} \to B^{ℕ}$ gegeben durch $T (f) (s) := f \circ s$ .

Die natürlichen Transformationen $ε$ und $ψ$ seien durch die Familien von Abbildungen $ε_{X}$ und $ψ_{X}$ ,

$ε_{X} : X^{ℕ} \to X, ε_{X} (s) := s (0)$
$ψ_{X} : X^{ℕ} \to (X^{ℕ})^{ℕ}, ψ_{X} (s) (n) (m) := s (n + m)$

für beliebige Mengen $X$ gegeben.

Das Tripel $(T, ε, ψ)$ ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für $(T, ε, ψ)$ sind die Abbildungen $α : X \to X^{ℕ}$ , die $α (x) (0) = x$ und $α (x) (n + m) = α (α (x) (n)) (m)$ erfüllen. Mit $α_{1} : X \to X$ , $x \mapsto α (x) (1)$ ist $α (x) (n) = α_{1}^{n} (x)$ , und man kann die Koalgebren mit Paaren $(X, α_{1})$ mit einer beliebigen Abbildung $α_{1} : X \to X$ identifizieren.

Ist $M$ eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf $T (X) = X^{M}$ bijektiv den Monoidstrukturen auf $M$ . Die Multiplikation auf $M$ ist $ψ_{M} (1_{M}) \in (M^{M})^{M}$ . Für ein Monoid $M$ kann die Strukturabbildung $X \to X^{M}$ einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz $(A^{B})^{C} = A^{B \times C} = (A^{C})^{B}$ mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

einer Abbildung $X \times M \to X$ , die eine Algebra für die Monade $T^{*} (X) = X \times M$ ist
einem Monoidhomomorphismus $M \to X^{X}$ , d. h. einer Operation von $M$ auf $X$ .

Literatur

Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8 (englisch).