Gruppenobjekt

Ein Gruppenobjekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Gruppe. Ein typisches Beispiel für ein Gruppenobjekt ist eine topologische Gruppe.

Definition

Sei $𝒞$ eine Kategorie mit endlichen Produkten. Wir bezeichnen das Finalobjekt mit $1$ . Ein Gruppenobjekt in $𝒞$ ist ein Objekt $G$ von $𝒞$ zusammen mit drei Morphismen

$m : G \times G \to G$ , Multiplikation
$e : 1 \to G$ , Inklusion des neutralen Elements
$i : G \to G$ , Inversion

sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

$m$ ist assoziativ, das heißt $m \circ (m \times {i d}_{G}) = m \circ ({i d}_{G} \times m)$ als Morphismen $G \times G \times G \to G$ .
$e$ ist ein zweiseitiges neutrales Element für $m$ , das heißt $m \circ ({i d}_{G} \times e) = p_{1}$ und $m \circ (e \times {i d}_{G}) = p_{2}$ , wobei $p_{1} : G \times G \to G$ (bzw. $p_{2}$ ) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
$i$ ist ein zweiseitiges inverses Element für $m$ , das heißt $m \circ (i \times {i d}_{G}) \circ Δ_{G} = e$ und $m \circ ({i d}_{G} \times i) \circ Δ_{G} = e$ . Hier bezeichnet $Δ_{G} : G \to G \times G$ die Diagonale.

Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden. Ein Morphismus von Gruppenobjekten $(G, m, e, i) \to (G^{'}, m^{'}, e^{'}, i^{'})$ ist ein Morphismus $f : G \to G^{'}$ , der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt $f \circ m = m^{'} \circ (f \times f)$ , $f \circ i = i^{'} \circ f$ und $f \circ e = e^{'}$ . Die Klasse der Gruppenobjekte von $𝒞$ bildet zusammen mit Morphismen von Gruppenobjekten wieder eine Kategorie, die wir für den Rest des Artikels mit $𝖦 𝗋 𝗉 (𝒞)$ bezeichnen.

Alternativ kann ein Gruppenobjekt als darstellbarer Funktor $F : 𝒞^{o p} \to 𝐆 𝐫 𝐩$ in die Kategorie der Gruppen $𝐆 𝐫 𝐩$ beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.

Ein Gruppenobjekt ist kommutativ, wenn $m \circ τ = m$ gilt. Hierbei ist $τ : G \times G \to G \times G$ die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von $p_{2}$ und $p_{1}$ induziert.

Beispiele

Jede Gruppe kann als Gruppenobjekt in der Kategorie der Mengen $𝐒 𝐞 𝐭$ aufgefasst werden. Umgekehrt definiert jedes Gruppenobjekt in $𝐒 𝐞 𝐭$ eine Gruppe. Die Kategorien $𝐆 𝐫 𝐩$ und $𝖦 𝗋 𝗉 (𝐒 𝐞 𝐭)$ sind also äquivalent.
Auf ähnliche Weise ist jede topologische Gruppe ein Gruppenobjekt in der Kategorie der topologischen Räume.
Eine abelsche Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen. Die Strukturmorphismen eines Gruppenobjektes in der Kategorie der Gruppen stimmen nach dem Eckmann-Hilton-Argument mit der ursprünglichen Gruppenstruktur überein.
Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten.
Eine Lie-Supergruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Supermannigfaltigkeiten.
Eine H-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Homotopiekategorie topologischer Räume $𝐡 𝐓 𝐨 𝐩$ .
Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten.
Ein Gruppenschema ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Schemata. Elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten können als Gruppenschemata aufgefasst werden.
Eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum oder einem Situs ist ein abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie der Garben.
Ist $𝒜$ eine abelsche Kategorie, so ist jedes Objekt auf eindeutige Weise ein kommutatives Gruppenobjekt.
Eine strikte 2-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der kleinen Kategorien.

Kogruppenobjekte

Analog kann man in einer Kategorie $𝒞$ mit endlichen Koprodukten sogenannte Kogruppenobjekte definieren. Wir sprechen von Komultiplikation, koneutralem Element und Koinversion. Die Kogruppenobjekte von $𝒞$ sind gerade die Gruppenobjekte von $𝒞^{o p}$ . Wir können Kogruppenobjekte auch als darstellbare Funktoren $𝒞 \to 𝐆 𝐫 𝐩$ auffassen. Die Kogruppenobjekte bilden eine Kategorie $𝖢 𝗈 𝖦 𝗋 𝗉 (𝒞)$ . Ein Kogruppenobjekt ist kokommutativ, wenn es als Gruppenobjekt von $𝒞^{o p}$ kommutativ ist.

Beispiele für Kogruppenobjekte sind:

Die Kategorie $𝖢 𝗈 𝖦 𝗋 𝗉 (𝐒 𝐞 𝐭)$ enthält nur die leere Kogruppe $∅︀$ als Objekt. Genauso enthält $𝖢 𝗈 𝖦 𝗋 𝗉 (𝐓 𝐨 𝐩)$ nur die leere Kogruppe.
Eine kommutative Hopf-Algebra ist ein Kogruppenobjekt in der Kategorie der kommutativen Ringe. Die Kategorie der kommutativen Hopf-Algebren ist anti-äquivalent zur Kategorie der affinen Gruppenschemata.
Eine H-Kogruppe ist ein Kogruppenobjekt in der Homotopiekategorie punktierter topologischer Räume ${𝐡 𝐓 𝐨 𝐩}_{*}$ .
In einer abelschen Kategorie $𝒜$ besitzt jedes Objekt eine eindeutige kokommutative Kogruppenstruktur. Die Komultiplikation ist durch die Diagonale gegeben.

Gruppenobjekte als Modelle

Ist $ℰ$ ein Topos, so ist ein Modell der Theorie der Gruppen über $ℰ$ gerade ein Gruppenobjekt in $ℰ$ . In diesem Zusammenhang können auch Torsore über Gruppenobjekten definiert werden.

Literatur

Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. 2017. §8.2 „Gruppenobjekte“
Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8, §III.6 „Groups in categories“ (englisch).

Einzelnachweise

↑ Group object in nLab
↑ Cogroup in nLab
↑ Torsor in nLab

[1] Group object in nLab

[2] Cogroup in nLab

[3] Torsor in nLab