Newmark-beta-Verfahren

Newmark-beta-Verfahren sind Methoden zur impliziten numerischen Integration von Differenzialgleichungen. Die Verfahren gehören zu den Einschrittverfahren, da zur Berechnung der Werte zur Zeit t_n+1 nur die Werte des vorangegangenen Zeitschritts zur Zeit t_n benötigt werden. Dabei werden zwei Parameter β (beta) und γ eingeführt, mit denen die Stabilität und die Genauigkeit des Verfahrens gesteuert werden. Die Verfahrensklasse ist in der numerischen Analyse der Dynamik von Festkörpern wie in der Finite-Elemente-Methode weit verbreitet. Benannt ist sie nach Nathan M. Newmark, der sie 1959 für die Anwendung in der Strukturdynamik entwickelte.

Herleitung

Im Zeitintervall $[t_{0}, t_{e}]$ , in dem eine Lösung $x (t)$ einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit gesucht wird, sei eine streng monoton steigende Folge von Zeitpunkten ${t_{0}, t_{1}, \dots, t_{e}}$ vorgegeben, zu denen die Lösung $x (t)$ berechnet werden soll. Der Wert der Variable $x_{n}$ , ihre Rate ${\dot{x}}_{n}$ und Beschleunigung ${\ddot{x}}_{n}$ seien zur Zeit t_n bekannt. Die Beschleunigung wird im Intervall $t \in [t_{n}, t_{n + 1}]$ linear interpoliert, siehe Bild:

${\ddot{x}}^{h} (t) = \frac{t_{n + 1} - t}{t_{n + 1} - t_{n}} {\ddot{x}}_{n} + \frac{t - t_{n}}{t_{n + 1} - t_{n}} {\ddot{x}}_{n + 1}$		(I)

worin $x^{h}$ eine Näherungslösung der gesuchten Funktion $x$ bezeichnet. Integration über die Zeit liefert mit $Δ t = t - t_{n}$ :

${\dot{x}}^{h} (t) = {\dot{x}}_{n} + \int_{t_{n}}^{t} {\ddot{x}}^{h} (τ) d τ = {\dot{x}}_{n} + Δ t [(1 - γ) {\ddot{x}}_{n} + γ {\ddot{x}}^{h} (t)]$		(II)

$x^{h} (t) = x_{n} + \int_{t_{n}}^{t} {\dot{x}}^{h} (τ) d τ = x_{n} + Δ t {\dot{x}}_{n} + Δ t^{2} [(\frac{1}{2} - β) {\ddot{x}}_{n} + β {\ddot{x}}^{h} (t)]$		(III)

Mit

β = 1/6 und γ = 1/2

sind diese Formeln exakt und liefern das lineare Beschleunigungsverfahren. Unter der Voraussetzung, dass die Extremwerte der Beschleunigung im Intervall [t_n,t_n+1] an den Grenzen des Intervalls auftreten, stellen die Integrale in Gleichungen (II) und (III) eine abgebrochene Taylorreihe mit Restglied dar, wobei mit 0≤β≤1 und 0≤γ≤1 andere Approximationen $x^{h}$ gefunden werden. So können auch andere Werte für die Konstanten β und γ motiviert werden.

Start der Berechnung

Der Newmark-Algorithmus startet zur Zeit t=t₀ mit n=0. Zumeist wird angenommen, dass für t≤t₀ die Beschleunigungen verschwinden. Mit dieser Annahme ist der Algorithmus unter Vorgabe der Anfangswerte x₀ und Anfangsgeschwindigkeit ẋ₀ selbststartend, d. h. die Anfangsbeschleunigungen brauchen nicht in einem ersten Schritt berechnet zu werden.

Aktualisierung der Variablen

Mit dem Newmark-Algorithmus werden aus gegebenen Werten $x_{n}, {\dot{x}}_{n}$ und ${\ddot{x}}_{n}$ zur Zeit t_n die entsprechenden Werte zur Zeit t_n+1 berechnet. Die im Intervall $[t_{n}, t_{n + 1}]$ liegenden Werte können mit den #Gleichungen (I) bis (III) interpoliert werden. Mit $t = t_{n + 1}$ und ${\ddot{x}}^{h} (t_{n + 1}) = {\ddot{x}}_{n + 1}$ bekommt man aus Gleichungen (II) und (III):

${\dot{x}}^{h} (t_{n + 1}) = : {\dot{x}}_{n + 1} = {\dot{x}}_{n} + Δ t [(1 - γ) {\ddot{x}}_{n} + γ {\ddot{x}}_{n + 1}]$		(IV)

$x^{h} (t_{n + 1}) = : x_{n + 1} = x_{n} + Δ t {\dot{x}}_{n} + Δ t^{2} [(\frac{1}{2} - β) {\ddot{x}}_{n} + β {\ddot{x}}_{n + 1}]$		(V)

Die beiden Gleichungen (IV) und (V) enthalten drei Unbekannte $x_{n + 1}, {\dot{x}}_{n + 1}$ und ${\ddot{x}}_{n + 1}$ . Die dritte zum Abschluss benötigte Gleichung liefert die zu lösende Differenzialgleichung. Bei $β \neq 0$ kann auch $x_{n + 1}$ als primäre Unbekannte gewählt werden:

{\ddot{x}}_{n + 1} = \frac{1}{β Δ t^{2}} (x_{n + 1} - x_{n}) - \frac{1}{β Δ t} {\dot{x}}_{n} - \frac{\frac{1}{2} - β}{β} {\ddot{x}}_{n}

{\dot{x}}_{n + 1} = \frac{γ}{β Δ t} (x_{n + 1} - x_{n}) + (1 - \frac{γ}{β}) {\dot{x}}_{n} + Δ t \frac{β - \frac{1}{2} γ}{β} {\ddot{x}}_{n}

.

Sind einmal die Werte $x_{n + 1}, {\dot{x}}_{n + 1}$ und ${\ddot{x}}_{n + 1}$ berechnet, wird der Zähler $n$ inkrementiert und die Berechnung fortgesetzt, bis das Ende des interessierenden Zeitintervalls erreicht ist.

Spezialfälle

Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren

Die ursprüngliche Form des Newmark-Verfahrens entspricht einer konstanten mittleren Beschleunigung

{\ddot{x}}^{h} (t) = \frac{1}{2} ({\ddot{x}}_{n + 1} + {\ddot{x}}_{n})

siehe Bild in der #Herleitung. Vergleich mit den obigen #Gleichungen (IV) und (V) führt auf

β = \frac{1}{4}

und

γ = \frac{1}{2}

Gleichung	Folgerung
${\dot{x}}_{n + 1} = {\dot{x}}_{n} + \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} {\ddot{x}}^{h} (τ) d τ = {\dot{x}}_{n} + \frac{Δ t}{2} ({\ddot{x}}_{n} + {\ddot{x}}_{n + 1})$	$γ = \frac{1}{2}$
$\begin{matrix} x_{n + 1} = & x_{n} + \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} {\dot{x}}^{h} d τ \\ = & x_{n} + \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} ({\dot{x}}_{n} + \frac{τ - t_{n}}{2} ({\ddot{x}}_{n} + {\ddot{x}}_{n + 1})) d τ \\ = & x_{n} + Δ t {\dot{x}}_{n} + \frac{Δ t^{2}}{4} ({\ddot{x}}_{n} + {\ddot{x}}_{n + 1}) \end{matrix}$	$β = \frac{1}{4}$

Zentrale Differenzenquotienten

Die zentralen Differenzenquotienten

${\dot{x}}_{n} = \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 1} - x_{n - 1})$		(VI)

${\ddot{x}}_{n} = \frac{1}{Δ t^{2}} (x_{n + 1} - 2 x_{n} + x_{n - 1})$		(VII)

entsprechen den obigen #Gleichungen (IV) und (V) mit

β = 0

und

γ = \frac{1}{2}

.

Gleichung	Folgerung
$\begin{matrix} {\ddot{x}}_{n} & = & \frac{1}{Δ t^{2}} (x_{n + 1} - 2 x_{n} + x_{n - 1}) \\ \to x_{n - 1} & = & Δ t^{2} {\ddot{x}}_{n} - x_{n + 1} + 2 x_{n} \\ {\dot{x}}_{n} & = & \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 1} - x_{n - 1}) \\ \to Δ t {\dot{x}}_{n} & = & \frac{1}{2} (x_{n + 1} - x_{n - 1}) = x_{n + 1} - \frac{Δ t^{2}}{2} {\ddot{x}}_{n} - x_{n} \\ \to x_{n + 1} & = & x_{n} + Δ t {\dot{x}}_{n} + \frac{Δ t^{2}}{2} {\ddot{x}}_{n} \end{matrix}$	$β = 0$
$\begin{matrix} \frac{Δ t}{2} {\ddot{x}}_{n} & = & \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 1} - 2 x_{n} + x_{n - 1}) \\ \frac{Δ t}{2} {\ddot{x}}_{n + 1} & = & \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 2} - 2 x_{n + 1} + x_{n}) \\ {\dot{x}}_{n} & = & \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 1} - x_{n - 1}) \\ {\dot{x}}_{n + 1} & = & \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 2} - x_{n}) \\ \to \frac{Δ t}{2} ({\ddot{x}}_{n} + {\ddot{x}}_{n + 1}) & = & \frac{1}{2 Δ t} (x_{n + 2} - x_{n} - x_{n + 1} + x_{n - 1}) = {\dot{x}}_{n + 1} - {\dot{x}}_{n} \\ \to {\dot{x}}_{n + 1} & = & {\dot{x}}_{n} + \frac{Δ t}{2} ({\ddot{x}}_{n} + {\ddot{x}}_{n + 1}) \end{matrix}$	$γ = \frac{1}{2}$

Explizite Zeitintegration

Das explizite Zeitintegrationsverfahren gehört nicht zur Familie der (impliziten!) Newmark-beta Algorithmen und wird hier nur zu Vergleichszwecken angegeben. Die obigen Gleichungen (VI) und (VII) für die zentralen Differenzenquotienten sind äquivalent zu

\begin{matrix} {\dot{x}}_{n + 1 / 2} = & \frac{1}{Δ t} (x_{n + 1} - x_{n}) \\ {\ddot{x}}_{n} = & \frac{1}{Δ t} ({\dot{x}}_{n + 1 / 2} - {\dot{x}}_{n - 1 / 2}) \end{matrix}

.

Hier fällt auf, dass die Geschwindigkeiten immer in der Mitte der Zeitintervalle berechnet werden. Mit der Annahme

\begin{matrix} {\dot{x}}_{n + 1} & \approx & {\dot{x}}_{n + 1 / 2} = {\dot{x}}_{n - 1 / 2} + Δ t {\ddot{x}}_{n} \\ x_{n + 1} & = & x_{n} + Δ t {\dot{x}}_{n + 1 / 2} = x_{n} + Δ t ({\dot{x}}_{n - 1 / 2} + Δ t {\ddot{x}}_{n}) \end{matrix}

können die Werte $x_{n + 1}$ und die Geschwindigkeiten ${\dot{x}}_{n + 1}$ zum Zeitpunkt t_n+1 auf bereits bekannte Ergebnisse $x_{n}, {\dot{x}}_{n - 1 / 2}, {\ddot{x}}_{n}$ zurückgeführt werden und die Differenzialgleichung liefert die Bestimmungsgleichung für die nunmehr einzige Unbekannte ${\ddot{x}}_{n + 1}$ .

Beispiel

Ein einfacher Schwinger gehorche in Abwesenheit einer Erregung der homogenen Differenzialgleichung

\ddot{x} (t) + 2 D \dot{x} (t) + x (t) = 0

.

mit Dämpfungsgrad D. Die analytische Lösung dieser Gleichung lautet

\begin{matrix} x (t) = \exp (- D t) [ & A \sin (ω t) + B \cos (ω t)] \\ \dot{x} (t) = \exp (- D t) [ & (A ω - B D) \cos (ω t) \\ - (A D + B ω) \sin (ω t)] \end{matrix}

mit $ω = \sqrt{1 - D^{2}}$ , der Exponentialfunktion exp sowie dem Sinus und Cosinus sin bzw. cos. Mit den Parametern aus der Tabelle

Parameter	A	B	D	ω
Wert	13	84	¹³⁄₈₅	⁸⁴⁄₈₅

resultieren die Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit

x (t = 0) = x_{0} = 84, \dot{x} (t = 0) = {\dot{x}}_{0} = 0

sowie eine Anfangsbeschleunigung

\ddot{x} (t = 0) = {\ddot{x}}_{0} = - x_{0} - 2 D {\dot{x}}_{0} = - 84

Die Differenzialgleichung liefert eine Gleichung für die aktuellen Unbekannten zur Zeit t_n+1:

{\ddot{x}}_{n + 1} + 2 D {\dot{x}}_{n + 1} + x_{n + 1} = 0

Zusammen mit obigen Gleichungen (IV) und (V) resultiert ein geschlossenes System von drei Gleichungen für drei Unbekannte, das von

\begin{matrix} {\ddot{x}}_{n + 1} = & \frac{[2 D (γ - 1) + (β - 1 / 2) Δ t] {\ddot{x}}_{n} Δ t - (2 D + Δ t) {\dot{x}}_{n} - x_{n}}{1 + 2 D γ Δ t + β Δ t^{2}} \\ {\dot{x}}_{n + 1} = & {\dot{x}}_{n} + [(1 - γ) {\ddot{x}}_{n} + γ {\ddot{x}}_{n + 1}] Δ t \\ x_{n + 1} = & - {\ddot{x}}_{n + 1} - 2 D {\dot{x}}_{n + 1} \end{matrix}

gelöst wird. Die Zeitintegration mit dem Newmark-Verfahren im Intervall t∈[0,10π] und 𝚫t=0,5 liefert die Verläufe im Bild. Die mittlere Abweichung über N Zeitschritte

e = \sqrt{\frac{\sum_{n = 1}^{N} {(x_{n} - x (t_{n}))}^{2}}{N}}

als Maß für die Genauigkeit enthält die Tabelle mit vier signifikanten Stellen:

Verfahren	β	γ	Mittlere Abweichung $e$
Verfahren	β	γ	𝚫t=0,5, N=64	𝚫t=0,05, N=630,	𝚫t=0,005, N=6285
Lineare Beschleunigung	1/6	1/2	0,8780	8,839e-03	8,850e-05
Zentrale Differenzen	0	1/2	1,262	1,239e-02	1,241e-04
Konstante mittlere Beschleunigung	1/4	1/2	1,859	1,861e-02	1,863e-04
Explizite Integration	–	–	8,478	7,644e-01	7,577e-02

In diesem Beispiel ergibt eine zehntel so große Zeitschrittweite eine etwa hundertfache Genauigkeit bei Benutzung der Newmark-beta-Verfahren und eine etwa zehnfache Genauigkeit der expliziten Integration.

Literatur

R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich: Strukturdynamik. Springer Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-88977-9.
T. Belytschko, T.J.R. Hughes (Hrsg.): Computational methods for transient analysis. North-Holland, 1986, ISBN 978-0-444-86479-6.

Einzelnachweise

↑ Newmark, Nathan M.: A Method of Computation for Structural Dynamics. In: American Society of Civil Engineers (Hrsg.): Journal of Engineering Mechanics-asce. Band 85, Nr. 3, 1. Juli 1959, S. 67–94, doi:10.1061/JMCEA3.0000098.

[1] Newmark, Nathan M.: A Method of Computation for Structural Dynamics. In: American Society of Civil Engineers (Hrsg.): Journal of Engineering Mechanics-asce. Band 85, Nr. 3, 1. Juli 1959, S. 67–94, doi:10.1061/JMCEA3.0000098.