Tenne studierte zunächst Musik und arbeitete ab 1924 beim Süddeutschen Rundfunk als Musikbegleiter. 1930 wechselte er als freier Mitarbeiter zur Nordischen Rundfunk AG (NORAG, später NWDR bzw. NDR), wo er als Komponist tätig war, Klavier spielte und Hörfolgen zusammenstellte.
Von 1933 bis 1941 leitete er den Chor der Niederdeutschen Singschar Hamburg. Nach dem Zweiten Weltkrieg verlegte er allerdings zunehmend seine beruflichen Tätigkeiten auf die Arbeit als Autor plattdeutscher Texte.
Ab 1955 war Tenne für mehrere Jahre Vorsitzender der Vereinigung Quickborn.
Auf dem Ohlsdorfer Friedhof in Hamburg befindet sich bei Planquadrat Y 15 nördlich vom Nordteich das Grab von Otto Tenne. Die Grabinschrift ist plattdeutsch und heißt übersetzt: „Ich suche das Licht in all meinem Tun“.
Hörspiele
Als Autor
1951: Twüschen Wihnachten un Niejaar – Regie: Hans Freundt
1952: Hüüt kummt Vadder ok mol an de Luft! – Regie: Hans Freundt
1952: De grote Krink – Mitautor: Heinrich Behnken; Regie: Hans Freundt