Paraboloid

Volumen

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}(f(z))^{2}\ \mathrm {d} z=\pi \int _{0}^{h}z\ \mathrm {d} z={\frac {\pi h^{2}}{2}}}$

Oberfläche

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{0}^{h}f(z){\sqrt {1+\left(f'(z)\right)^{2}}}\ \mathrm {d} z\\&=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {z}}{\sqrt {1+\left({\frac {1}{2{\sqrt {z}}}}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} z\\&=2\pi \int _{0}^{h}{\frac {1}{2}}{\sqrt {4z+1}}\ \mathrm {d} z\\&=2\pi \left({\frac {1}{12}}(4z+1)^{\frac {3}{2}}{\Big |}_{z=0}^{z=h}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\left((4h+1)^{\frac {3}{2}}-1\right)\end{aligned}}}$

Tangentialebenen

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))}$ an den Graphen einer differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ hat die Gleichung

${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$.

Für ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0},x_{0}^{2}+y_{0}^{2})}$

${\displaystyle z=2x_{0}x+2y_{0}y-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})}$.

Ebene Schnitte

Das elliptische Paraboloid ${\displaystyle P1}$ ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel ${\displaystyle z=x^{2}}$ um die ${\displaystyle z}$-Achse. Ein ebener Schnitt von ${\displaystyle P1}$ ist:

• eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur ${\displaystyle z}$-Achse) ist.
• eine Ellipse oder ein Punkt oder leer, falls die Ebene nicht senkrecht ist. Eine horizontale Ebene schneidet ${\displaystyle P1}$ in einem Kreis.
• ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist.

Affine Bilder

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von ${\displaystyle P1}$. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

${\displaystyle P1_{ab}\colon z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ a,b>0}$.

${\displaystyle P1_{ab}}$ besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls ${\displaystyle a\neq b}$ gilt. Dass ein beliebiges elliptisches Paraboloid auch immer Kreise enthält, wird in Kreisschnittebene gezeigt.

${\displaystyle P1_{ab}}$ ist

• symmetrisch zu den ${\displaystyle xz}$- bzw. ${\displaystyle yz}$-Koordinatenebenen.
• symmetrisch zur ${\displaystyle z}$-Achse, d. h. ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z)}$ lässt ${\displaystyle P1_{ab}}$ invariant.
• rotationssymmetrisch, falls ${\displaystyle a=b}$ ist.

Bemerkung:

1. Ein Rotationsparaboloid (d. h. ${\displaystyle a=b}$) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
2. Wenn man ein mit Wasser gefülltes Glas mit konstanter Drehgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse rotieren lässt, dreht sich das Wasser nach einer Weile mit dem Glas mit. Seine Oberfläche bildet dann ein Rotationsparaboloid.
3. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.

Homogene Koordinaten

Führt man homogene Koordinaten so ein, dass die Fernebene durch die Gleichung ${\displaystyle x_{4}=0}$ beschrieben wird, muss man ${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{4}}},y={\tfrac {x_{2}}{x_{4}}},z={\tfrac {x_{3}}{x_{4}}}}$ setzen. Nach Beseitigung des Nenners erhält man die homogene Beschreibung von ${\displaystyle P_{1}}$ durch die Gleichung:

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}x_{4}}$.

Der Schnitt des Paraboloids mit der Fernebene ${\displaystyle x_{4}=0}$ ist der Punkt ${\displaystyle (0:0:1:0)}$.

Die Koordinatentransformation ${\displaystyle x_{1}=u_{1},\;x_{2}=u_{2},\;x_{3}=u_{3}+u_{4},\;x_{4}=-u_{3}+u_{4}}$ liefert die Gleichung

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=u_{4}^{2}}$.

In den neuen Koordinaten schneidet die Ebene ${\displaystyle u_{4}=0}$ das Paraboloid nicht.

Führt man jetzt wieder affine Koordinaten durch ${\displaystyle x={\tfrac {u_{1}}{u_{4}}},y={\tfrac {u_{2}}{u_{4}}},z={\tfrac {u_{3}}{u_{4}}}}$ ein, erhält man die Gleichung der Einheitskugel:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\ .}$

Dies zeigt: Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv äquivalent zu einer Kugel.

Tangentialebenen

Für ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y^{2}}$ ist die Gleichung der Tangentialebene (siehe oben) im Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0},x_{0}^{2}-y_{0}^{2})}$

${\displaystyle z=2x_{0}x-2y_{0}y-x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}$.

Ebene Schnitte

${\displaystyle P2}$ ist im Gegensatz zu ${\displaystyle P1}$ keine Rotationsfläche. Aber wie bei ${\displaystyle P1}$ sind bei ${\displaystyle P2}$ auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit ${\displaystyle P2}$ ist

• eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur ${\displaystyle z}$-Achse) ist und eine Gleichung ${\displaystyle ax+by+c=0,a\neq \pm b}$ hat.
• eine Gerade, falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung ${\displaystyle y=\pm x+c}$ hat.
• ein sich schneidendes Geradenpaar, falls die Ebene eine Tangentialebene ist (siehe Abbildung).
• eine Hyperbel, falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (siehe Abbildung).

Weitere Eigenschaften

1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur ${\displaystyle xz}$- oder ${\displaystyle yz}$-Ebene sind alle kongruent zur Normparabel ${\displaystyle z=x^{2}}$.
2. ${\displaystyle P2}$ ist eine Schiebfläche. ${\displaystyle P2}$ entsteht durch Verschiebung der Parabel ${\displaystyle z=x^{2},y=0}$ mit ihrem Scheitel entlang der Parabel ${\displaystyle z=-y^{2},x=0}$.
3. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
4. Da die Fläche ${\displaystyle P2}$ Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
5. ${\displaystyle P2}$ ist ein Konoid.
6. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (ebenso wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar, da die Gaußsche Krümmung in jedem Punkt ungleich 0 ist. Die Gaußsche Krümmung ist überall kleiner als 0. Bei einer Kugel ist die Gaußsche Krümmung überall größer als 0. Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
7. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die ${\displaystyle z}$-Achse um 45 Grad geht die Gleichung ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ in die einfachere Gleichung ${\displaystyle z=2xy}$ über.

Affine Bilder

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von ${\displaystyle P2}$. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

${\displaystyle P2_{ab}:\ z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ a,b>0}$.

${\displaystyle P2_{ab}}$ ist

• symmetrisch zu den ${\displaystyle xz}$- bzw. ${\displaystyle yz}$-Koordinatenebenen.
• symmetrisch zur ${\displaystyle z}$-Achse, d. h. ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z)}$ lässt ${\displaystyle P2_{ab}}$ invariant.

Bemerkung:
Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (siehe Abbildung), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.

Interpolationsfläche von 4 Punkten

Ein hyperbolisches Paraboloid lässt sich auch als bilineare Interpolationsfläche von vier nicht in einer Ebene liegenden Punkten ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$ auffassen

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }(u,v)={\begin{pmatrix}1-u&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bf {a_{1}}}&{\bf {b_{1}}}\\{\bf {a_{2}}}&{\bf {b_{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1-v\\v\end{pmatrix}}\ }$

${\displaystyle =(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$.

Das Netz der Parameterlinien besteht aus Geraden.

Für das in der Abbildung dargestellte Beispiel ist ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,0,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T},\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$. Das dadurch beschriebene hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung ${\displaystyle z=xy}$.

Siehe hierzu auch die Darstellung in baryzentrischen Koordinaten.

Homogene Koordinaten

Führt man wie bei ${\displaystyle P_{1}}$ homogene Koordinaten ein, erhält man die Beschreibung des hyperbolischen Paraboloids ${\displaystyle P_{2}}$ durch die Gleichung:

${\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{3}x_{4}}$.

Der Schnitt des Paraboloids mit der Fernebene ${\displaystyle x_{4}=0}$ besteht aus den beiden Geraden ${\displaystyle g_{1}:x_{1}+x_{2}=0,x_{4}=0,\;g_{2}:x_{1}-x_{2}=0,x_{4}=0\;}$, die sich in dem Punkt ${\displaystyle (0:0:1:0)}$ schneiden.

Die Koordinatentransformation ${\displaystyle x_{1}=u_{1},\;x_{2}=u_{3},\;x_{3}=u_{2}+u_{4},\;x_{4}=-u_{2}+u_{4}}$ liefert die Gleichung

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}=u_{4}^{2}}$.

Die Fernebene ${\displaystyle u_{4}=0}$ schneidet das Paraboloid in einem Kreis.

Geht man wieder zu affinen Koordinaten über, erhält man die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$

eines einschaligen Hyperboloids.

Das hyperbolische Paraboloid ist also projektiv äquivalent zu einem einschaligen Hyperboloid.