Parametertransformation

Als Parametertransformation wird in der Analysis eine stetige und streng monotone Abbildung bezeichnet, die den Parameter eines Weges ändert.

Formale Definition

Sind $γ_{1} : [a, b] \to ℝ^{n}$ und $γ_{2} : [α, β] \to ℝ^{n}$ zwei Wege und ist $f : [a, b] \to [α, β]$ eine stetige und streng monotone Funktion mit

γ_{1} (t) = γ_{2} (f (t))

für alle

t \in [a, b]

, also

γ_{1} = γ_{2} \circ f

,

so nennt man $f$ eine Parametertransformation. Man nennt $γ_{1}$ dann auch eine Umparametrisierung von $γ_{2}$ mittels $f$ .

Ist $f$ streng monoton wachsend, so wird die Parametertransformation orientierungstreu genannt. Falls die Parametertransformation $f$ streng monoton fallend ist, wird sie orientierungsumkehrend genannt.

Wenn $f$ und die Umkehrfunktion $f^{- 1}$ stetig differenzierbar sind, dann nennt man $f$ eine $C^{1}$ -Parametertransformation.

Eigenschaften

Durch die Parametertransformation ändert sich der Weg, nicht jedoch die zugehörige Kurve.
Der Weg $γ_{1}$ ist genau dann rektifizierbar, wenn $γ_{2}$ rektifizierbar ist. In diesem Fall sind die Weglängen von $γ_{1}$ und $γ_{2}$ gleich.

Literatur

Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 44–46.

Einzelnachweise

↑ Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 44.
↑ Florian Modler, Martin Kreh: Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2. Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert. 2011, ISBN 978-3-8274-2895-0, S. 139.
↑ Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen. 9. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5, S. 48.
↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 13. Auflage. Teubner Verlag, 2004, ISBN 3-519-62232-7, S. 360.

[forster-analysis-2-1] Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 44.

[TutoriumA139-2] Florian Modler, Martin Kreh: Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2. Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert. 2011, ISBN 978-3-8274-2895-0, S. 139.

[3] Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen. 9. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5, S. 48.

[4] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 13. Auflage. Teubner Verlag, 2004, ISBN 3-519-62232-7, S. 360.