Der Mathematische Begriff der perversen Garben stammt aus der Algebraischen Geometrie und beschreibt Objekte einer zu einem stratifizierten Raum assoziierten Kategorie.
Das Konzept stammt aus den Arbeiten von Joseph Bernstein, Alexander Beilinson, Pierre Deligne und Ofer Gabber (1982) und entsteht aus der Riemann-Hilbert Korrespondenz. Diese bildet eine Verbindung der derivierten Kategorie von regulären, holonomischen D-Moduln und der derivierten Kategorie von Konstruierbaren Garben. Die Objekte letzerer Kategorie die zu den einzelnen D-Moduln (Oder ihren Komplexen) korrespondieren werden als perverse Garben bezeichnet. Obwohl der Begriff der perversen Garben erst 1982 eingeführt wurde, wurde das Konzept bereits 1975 in einer Veröffentlichung von Kashiware über die Konstruierbarkeit von Lösungen von holonomischen D-moduln verwendet.
Das Initiale Interesse an der Verwendung von perversen Garben entstammt der von Mark Goresky und Robert MacPherson eingeführten Schnitthomologie. Diese besteht aus Komplexen von Garben, die sich auch als perverse Garben interpretieren lassen. Perverse Garben dienen als eine Verbindung der Gebiete der algebraischen Geometrie, Topologie und Differentialgleichungen.
Der Name perverse Garbe entstammt dem Französischen Begriff "faisceaux pervers". Die Verwendung des Garbenbegriffs erklärt sich dadurch, dass perverse Garben Komplexe von Garben sind, die viele ihrer Eigenschaften teilen: Sie formen eine abelsche Kategorie mit einem Konzept der Kohomologie und sind rein durch lokale Informationen gegeben. Das Adjektiv "pervers" entstammt dem Begriff der Perversitäten aus der Schnitthomologie.
Zusätzlich existiert die Definition von perversen Garben nach Beilinson Bernstein Deligne und Gabber, die diese in der Sprache von triangulierten Kategorien und homologischer Algebra beschreibt. Diese ist entsprechend deutlich algebraischerer Natur, was im Gegensatz zu den vorrangig topologischen Beispielen von Goresky und MacPherson steht.
Anschließend gibt es eine Umformulierung der Theorie von Perversen Garben mit Methoden der Morse Theorie.
Insgesamt werden perverse Garben – vor allem in der Darstellungstheorie – oftmals als formell existente 'black box' verwendet.
Eine perverse Garbe ist ein Objekt C der beschränkten derivierten Kategorie der Garben mit konsturierbarer Kohomologie eines topologischen Raumes X, sodass die Menge der Punkte
für alle i höchstens dimension 2i als reeller Vektorraum besitzt. Hierbei beschreibt jx die Inklusionsabbildung des Punkts x.
Für eine glatte komplexe algebraische Varietät von globaler Dimension d und ein lokales System , bildet
eine perverse Garbe Für ein flaches, lokal vollständiges Schnittschema X über einem Henselschen diskreten Bewertungsring, ist die um verschobene konstante Garbe eine perverse Garbe und Étale.
Sei X ein Kreis um den Ursprung von , mit einer Stratifizierung in der der Ursprung das eindeutige singuläre Stratum bildet. Die Kategorie der perversen Garben über X ist äquivalent zu der der Diagramme von Vektorräumen für die und beide invertierbar sind. Perverse Garben lassen sich auch im allgemeinen durch Köcher beschreiben.
Die Kategorie der perversen Garben ist eine abelsche Unterkategorie der (nicht-abelschen) derivierten Kategorie der Garben. Es existiert eine t-Struktur, deren Kern den Perversen Garben entspricht. Perverse Garben werden erhalten unter Verdier Dualität.
Die beschränkte derivierte kategorie der Perversen 1-adischen Garben auf einem Schema X ist äquivalent zur derivierten Kategorie der Konstruierbaren Garben. Selbiges gilt für die Garben über dem einem Schema zugeordneten komplexen analytischen Raum X/C.
Perverse Garben sind ein fundamentales Werkzeug in der Betrachtung der Geometrie von singulären Räumen und finden entsprechend Anwendung in vielen verschiedenen mathematischen Bereichen. Die Riemann-Hilbert Korrespondenz besagt, dass perverse Garben in Bijektion zu holonomischen D-Moduln stehen, und bietet einen natürlichen Ort ihres Auftretens. Mit Hilfe von perversen Garben lässt sich das Zerlegungstheorem aus dem Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte herleiten. Hodge Moduln entstehen als eine Hodge-Theoretische verfeinerung von perversen Garben. Die [[Geometrische Satake Äquivalenz]] identifiziert äquivariante perverse Garben des Affin Grassmannschen Funktors mit Darstellungen der Langlandsdualen Gruppe einer reduktiven Gruppe G. Es existiert ein Beweis der Weil-Vermutung mithilfe von perversen Garben.
Masselose Felder in superstring Kompaktifizierungen lassen sich mit Kohomologie-Klassen des Zielraumes identifizieren (Beispielsweise Vierdimensionaler Minkowski-Raum mit einer sechsdimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit). Die genaue Berechnung von Masse und Interaktionsgehalt findet durch Betrachtung der Kohomologien dieser Räume statt -- fast alle masselosen Felder lassen sich durch diese Kohomologieelemente darstellen.
Für einen Singulären Zielraum verkompliziert sich die Theorie - Bei einem singulären Zielraum ist nur die CY-Mannigfaltigkeitskomponente singulär, da der Minkowski-Raumfaktor glatt ist. Eine solche CY-Mannigfaltigkeit wird auch als Kegelfaltigkeit bezeichnet, da sie eine CY-Mannigfaltigkeit mit Kegelförmigen Singularitäten bildet. Diese bilden Nach Andrew Strominger(A. Strominger, 1995) zu masselosen schwarzen Löchern. Kegelfaltigkeiten finden in der Stringtheorie vielfältige Anwendung: Beispielsweise werden sie in Kapitel 13 des Buches The Elegant Universe von Brian Greene eingeführt - und insbesondere topologische Veränderungen in der Nähe von Singularitäten behandelt. Diese singulären Zielräume korrespondieren zu leichten Veränderungen von Algebraischen Varietäten die gewissen Klassen von supersymmetrischen Theorien, wie Superstringtheorie (E. Witten, 1982).
Da verschiedene Kohomologietheorien des gleichen Raumes verschiedene Ergebnisse liefern, ist es schwer zu entscheiden, welche solche Theorie am nützlichsten für die Physik ist. Viele wichtige eigenschaften der Kohomologie, welche zu masselosen Feldern korrespondieren, basieren auf generellen Eigenschaften von Feldtheorien. Besonders stechen hier die (2,2)-supersymmetrische 2-dimensionale weltflächen Feldtheorie. Diese sogenannte Kähler packung (T. Hübsch, 1992), sollen für singuläre und glatte Zielräume halten. Paul Green und Tristan Hübsch (P. Green & T. Hübsch, 1988) definieren die Kegelfaltige Transition als die bewegung zwischen CY Zielräumen, die sich durch Auflösungen und Deformationen der Singularität bewegt (T. Hübsch, 1992).
Die Hübschvermutung (T. Hübsch, 1997) gibt eine Kohomologietheorie für singuläre Räume an und wurde zusammen mit Abdul Rahmann (T. Hübsch & A. Rahman, 2005) für den Fall von isolierten kegelförmigen singularitäten bewiesen.
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