Plasma-Randschicht

Die eindimensionale Gleichung

Die Physik der Randschicht wird durch vier Phänomene bestimmt:

• Energieerhaltung der Ionen: Wenn wir zur Vereinfachung kalte Ionen der Masse ${\displaystyle m_{\mathrm {i} }}$ annehmen, welche mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle u_{\mathrm {s} }}$ in die Randschicht eintreten, so gilt aufgrund der Energieerhaltung:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u^{2}={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u_{\mathrm {s} }^{2}-e\,V(x)}$

mit der Elementarladung ${\displaystyle e}$.

• Ionenzahl-Erhaltung: In einem stationären Plasma werden keine Ionen gebildet oder vernichtet, weshalb der Fluss überall derselbe ist:

${\displaystyle n_{\mathrm {s} }\,u_{\mathrm {s} }=n_{\mathrm {i} }(x)\,u(x)}$

• Boltzmann-Gleichung für die Elektronen: Da die meisten Elektronen reflektiert werden, ist ihre Teilchendichte gegeben durch:

${\displaystyle n_{\mathrm {e} }(x)=n_{\mathrm {s} }\,\exp(e\,V/k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} })}$

mit der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$.

• Poisson-Gleichung: Die Krümmung des elektrostatischen Potentials steht wie folgt in Bezug zur Netto-Ladungsdichte:

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\,q\,(n_{\mathrm {e} }-n_{\mathrm {i} })}$

mit der elektrischen Feldkonstanten ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$.

Kombiniert man diese Gleichungen und ersetzt Potential ${\displaystyle V}$, Position ${\displaystyle x}$ und Ionengeschwindigkeit ${\displaystyle u_{\mathrm {s} }}$ durch die dimensionslosen Größen

${\displaystyle \chi =-{\frac {e\,V}{k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} }}}\quad \Leftrightarrow \quad V=-{\frac {\chi \,k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} }}{e}}}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{\lambda _{\mathrm {D} }}}\quad \Leftrightarrow \quad x=\xi \,\lambda _{\mathrm {D} }}$ mit der Debye-Länge ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {M}}={\frac {u_{\mathrm {s} }}{\sqrt {k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} }}}}\quad \Leftrightarrow \quad u_{\mathrm {s} }={\mathfrak {M}}\,{\sqrt {k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} }}},}$

so erhält man die Gleichung für die Randschicht:

${\displaystyle \Rightarrow \chi ''=\left(1-{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}-e^{-\chi }}$

Das Bohm-sheath-Kriterium

Die Randschichtgleichung kann integriert werden, wenn sie mit ${\displaystyle \chi '}$ multipliziert wird:

${\displaystyle \int _{0}^{\xi }\chi '\chi ''\,d\xi _{1}=\int _{0}^{\xi }\left(1-{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}\chi '\,d\xi _{1}-\int _{0}^{\xi }e^{-\chi }\chi '\,d\xi _{1}}$

An der Grenze der Randschicht zum Plasma (${\displaystyle \xi =0}$) wird das Potential gleich Null gesetzt (${\displaystyle \chi =0}$) und das elektrische Feld wird ebenfalls als Null angenommen (${\displaystyle \chi '=0}$). Mit diesen Randbedingungen ergibt die Integration:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}^{2}\left[\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{1/2}-1\right]+e^{-\chi }-1}$

Dieses Integral kann einfach in geschlossener Form geschrieben werden, obwohl es nur numerisch gelöst werden kann. Dennoch können daraus wichtige analytische Schlüsse gezogen werden: da die linke Seite ein quadratischer Ausdruck ist, muss die rechte Seite ebenfalls für jeden Wert von ${\displaystyle \chi }$ einen positiven Wert annehmen, insbesondere für kleine Werte. Mit einer Taylor-Entwicklung um ${\displaystyle \chi =0}$ findet man, dass der erste Term, der nicht verschwindet, der quadratische ist. Wir können also voraussetzen, dass

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(-{\frac {1}{{\mathfrak {M}}^{2}}}+1\right)&\geq 0\\\Leftrightarrow {\mathfrak {M}}^{2}&\geq 1\\\Rightarrow u_{\mathrm {s} }&\geq {\sqrt {k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} }}}\end{aligned}}}$.

Diese Ungleichung ist bekannt als das Bohm-sheath-Kriterium, benannt nach seinem Entdecker David Bohm. Wenn die Ionen zu langsam in die Randschicht eindringen, dehnt sich das Randschichtpotential ins Plasma aus, um diese zu beschleunigen. Letztendlich formt sich eine sogenannte Vorrandschicht (pre-sheath) mit einem Spannungsabfall in der Größenordnung von ${\displaystyle (k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} }/2e)}$ und einer Ausdehnung, welche von der Ionenquelle bestimmt ist (oft so groß wie das Plasma selbst).