Poisson-Algebra

Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Poisson-Algebra

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra $A$ ist eine kommutative, assoziative $R$ -Algebra $(A, \cdot)$ mit einer $R$ -bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

{-, -} : A \times A \to A

,

genannt Poisson-Klammer, so dass

$(A, {-, -})$ eine Lie-Algebra über $R$ ist,
die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt

{f, g \cdot h} = {f, g} \cdot h + g \cdot {f, h}

.

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer ${-, -}$ stehen dabei für einen Platzhalter.

Erläuterungen

Der $R$ -Modul $A$ ist mit zwei $R$ -bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation $\cdot : A \times A \to A$ und der Poisson-Klammer ${-, -} : A \times A \to A$ .

Für die Multiplikation $\cdot$ und $f, g, h \in A$ gilt

Kommutativität:

f \cdot g = g \cdot f

Assoziativität:

f \cdot (g \cdot h) = (f \cdot g) \cdot h

Für die Poisson-Klammer ${-, -}$ und $f, g, h \in A$ gilt

Antisymmetrie:

{f, g} = - {g, f}

und

{f, f} = 0

Leibnizregel:

{f, g \cdot h} = {f, g} \cdot h + g \cdot {f, h}

Jacobi-Identität:

{f, {g, h}} = {{f, g}, h} + {g, {f, h}}

Für ein $f \in A$ ist die Poisson-Klammer $D_{f} (-) := {f, -}$ eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

D_{f} (g \cdot h) = {f, g \cdot h} = {f, g} \cdot h + g \cdot {f, h} = D_{f} (g) \cdot h + g \cdot D_{f} (h) .

Poisson-*-Algebra

Falls $A$ eine Poisson-Algebra über $ℂ$ ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für ${-, -}$ folgendes

\overline{{f, g}} = {\overline{f}, \overline{g}}

erfüllt, so nennt man $A$ eine Poisson-*-Algebra.

Beispiele

Sei $M$ eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer ${-, -}$ auf dem Raum der glatten Funktionen $C^{\infty} (M)$ , dann ist das Paar $(C^{\infty} (M), {-, -})$ eine Poisson-Algebra.

Literatur

Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.
Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8.

Weblinks

Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics

Einzelnachweise

↑ Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11.
↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20.

[1] Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11.

[2] Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20.