Postnikow-Turm

Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.

Definition

Es sei $X$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikow-Turm von $X$ ist eine Folge

\dots \to Y_{n} \to Y_{n - 1} \to \dots \to Y_{2} \to Y_{1}

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

Ein Postnikow-Turm existiert für jeden zusammenhängenden Raum. Für CW-Komplexe $X$ sind die Räume im Postnikow-Turm bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, sonst nur bis auf schwache Homotopieäquivalenz.
Man erhält $Y_{n}$ (bis auf Homotopieäquivalenz) aus $X$ , indem durch Ankleben von Zellen der Dimensionen $\geq n + 2$ an $X$ die Homotopiegruppen in Graden $\geq n + 1$ "getötet" werden. (Indem man die Inklusion $Y_{n + 1} \to Y_{n}$ durch ihren Abbildungskegel ersetzt, erhält man eine Faserung, ohne den Homotopietyp zu ändern.)
Falls $X$ ein CW-Komplex ist, dann ist $Y_{1}$ ein Eilenberg-MacLane-Raum $K (π_{1} X, 1)$ und die Faser der Faserung $Y_{n} \to Y_{n - 1}$ ist ein Eilenberg-MacLane-Raum $K (π_{n} X, n)$ .
Die Abbildung von $X$ in den projektiven Limes $\underset{n \in ℕ}{\lim_{\leftarrow}} Y_{n}$ ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
Falls die Wirkung von $π_{1} X$ auf $π_{n} X$ für $n > 1$ trivial ist, lassen sich die Faserungen $Y_{n} \to Y_{n - 1}$ als Hauptfaserbündel realisieren.

M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. In: Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 76, 1951, 359–362. (russisch)
R. Bott, L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. (= Graduate Texts in Mathematics. 82). Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4.
Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X.
P. Griffiths, J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. (= Progress in Mathematics. 16). 2. Auflage. Springer, New York 2013, ISBN 978-1-4614-8467-7.