Whitehead-Turm

In der Mathematik ist der Whitehead-Turm eines topologischen Raumes ein Hilfsmittel bei der Berechnung von Homotopiegruppen.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Whitehead-Turm von ${\displaystyle X}$ ist eine Folge

${\displaystyle \ldots \to X_{n}\to X_{n-1}\to \ldots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}=X}$

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

• für alle ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ eine Faserung, deren Faser ein Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n-1)}$ ist
• ${\displaystyle X_{n}}$ ist ${\displaystyle n}$-zusammenhängend, d. h. für alle ${\displaystyle k\leq n}$ ist ${\displaystyle \pi _{k}X_{n}=0}$
• für alle ${\displaystyle k>n}$ ist ${\displaystyle \pi _{k}X_{n}=\pi _{k}X}$.

Konstruktion

${\displaystyle X_{1}}$ ist die universelle Überlagerung von ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle X_{n}}$ wird aus ${\displaystyle X_{n-1}}$ wie folgt konstruiert. Zunächst kann man ${\displaystyle X_{n-1}}$ in einen Raum ${\displaystyle Y_{n}}$ vom schwachen Homotopietyp des ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n)=K(\pi _{n}X_{n-1},n)}$ einbetten, indem man sukzessive alle Homotopiegruppen der Dimensionen ${\displaystyle n+1,n+2,\ldots }$ durch Ankleben von Zellen der Dimensionen ${\displaystyle n+2,n+3,\ldots }$ „tötet“. Dann definiert man ${\displaystyle X_{n}=\Omega _{*}^{X_{n-1}}\subset \Omega K(\pi _{n}X,n)}$ als Raum aller Wege in ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n)}$, die in einem Basispunkt ${\displaystyle *}$ starten und in ${\displaystyle X_{n-1}}$ enden.

Die "Endpunkt"-Projektion ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ist eine Faserung, deren Faser der Schleifenraum ${\displaystyle \Omega Y_{n}}$ ist. Dieser hat den schwachen Homotopietyp eines ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n-1)}$.

Falls ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex ist, dann ist die Faser ein CW-Komplex und insbesondere also nach dem Satz von Whitehead ein ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n-1)}$. Falls zusätzlich die höheren Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{k}X,k\geq 2}$ endlich erzeugt sind, dann ist der ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n-1)}$ homotopieuaquivalent zu einer topologischen abelschen Gruppe und die Konstruktion lässt sich so durchführen, dass für ${\displaystyle n>1}$ die Faserungen ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ Prinzipalbündel mit abelscher Strukturgruppe sind.

Siehe auch

• Postnikow-Turm

Literatur

• H. Cartan, J.-P. Serre: Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales. C. R. Acad. Sci. Paris 234, (1952).
• G. W. Whitehead: Fiber spaces and the Eilenberg homology groups. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 38, (1952). 426–430. PMC 1063578 (freier Volltext)
• R. Bott, L. Tu: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4.