Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl $a$ modulo einer Zahl $m$ die Menge aller Zahlen, die bei Division durch $m$ denselben Rest lassen wie $a$ .

Definition

Es sei $m$ eine von 0 verschiedene ganze Zahl und $a$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von $a$ modulo $m$ , geschrieben

a + m ℤ

oder kurz $\overline{a}$ oder $[a],$ ist die Äquivalenzklasse von $a$ bezüglich der Kongruenz modulo $m$ , also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch $m$ den gleichen Rest wie $a$ ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen $b$ , die sich aus $a$ durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von $m$ ergeben:

a + m ℤ = {a + k m ∣ k \in ℤ} = {b ∣ b \equiv a (m o d m)}

.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $0, 1, 2, \dots, | m | - 1$ .

Die Menge aller Restklassen modulo $m$ schreibt man häufig als $ℤ / m ℤ$ oder $ℤ_{m}$ . Sie hat $| m |$ Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring modulo $m$ genannt. Genau dann, wenn $| m |$ eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers. Eine Restklasse modulo $m$ heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu $m$ sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten $(ℤ / m ℤ)^{\times}$ (oder $ℤ_{m}^{*}$ ) im Restklassenring $ℤ / m ℤ$ ; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
Die Restklasse von 0 modulo $m$ ist die Menge der Vielfachen von $m$ .
Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge ${\dots, - 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, \dots} .$

Verallgemeinerung

Ist $A$ ein Ring und $I \subseteq A$ ein Ideal, so heißen Mengen der Form

a + I = {a + i ∣ i \in I}

Restklassen modulo $I$ . Ist $A$ kommutativ, oder ist $I$ ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge $A / I$ der Restklassen modulo $I$ eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo $I$ . $A / I$ wird durch Elemente in $A$ repräsentiert, wobei die Restklassen $a + I$ und $b + I$ in $A / I$ übereinstimmen, falls $a - b \in I$ gilt.

Literatur

Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

Weblinks

Christian Spannagel: Restklassen und algebraische Strukturen. Vorlesungsreihe, 2012.
Christian Spannagel: Kongruenzen und Restklassen. Vorlesungsreihe, 2012.

Einzelnachweise

1 2 Fischer, Gerd.: Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger. 18., aktualisierte Aufl. 2014. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 50.

[Fischer-1] 1 2 Fischer, Gerd.: Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger. 18., aktualisierte Aufl. 2014. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 50.