Selbergsche Zetafunktion

Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.

Definition

Es sei $S = Γ ∖ H^{2}$ eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte $γ \subset S$ bezeichne $l (γ)$ ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion $𝒵_{Γ} : ℂ \to ℂ \cup {\infty}$ wird durch meromorphe Fortsetzung der für $Re (s) ≫ 0$ durch

𝒵_{Γ} (s) = \prod_{γ} \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - e^{- l (γ) (s + k)})

gegebenen Funktion definiert.

Nullstellen

Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen $s_{j}$ , die die Gleichung

s_{j} (1 - s_{j}) = λ_{j}

für einen der Eigenwerte

0 = λ_{0} < λ_{1} < λ_{2} < \dots

des Laplace-Operators auf $S$ erfüllen.

Mayerscher Transfer-Operator

Für $Γ = S L (2, ℤ)$ hat man die Identität

𝒵_{Γ} (s) = det (1 - ℒ_{s}^{2})

.

Dabei bezeichnet $ℒ_{s} : V \to V$ den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum $V$ der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt $1$ und Radius $\frac{3}{2}$ holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

ℒ_{s} ϕ (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(z + n)^{2 s}} ϕ (\frac{1}{z + n})

.

Literatur

U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. (= Mathematical Research. Vol. 83). Akademie-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-05-501690-4.
E. d'Hoker, D. H. Phong: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. In: Nucl. Phys. B 269, 1986, S. 205–234.
E. d'Hoker, D. H. Phong: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. In: Commun. Math. Phys. Band 104, 1986, S. 537–545.
D. Fried: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. In: Invent. Math. Band 84, 1986, S. 523–540.
A. Selberg: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. In: J. Indian Math. Soc. Band 20, 1956, S. 47–87.
A. Voros: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. In: Commun. Math. Phys. Band 110, 1987, S. 439–465.

Selbergsche Zetafunktion

Definition

Nullstellen

Mayerscher Transfer-Operator

Literatur

Weblinks