Selbergsche Zetafunktion

Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.

Definition

Es sei ${\displaystyle S=\Gamma \backslash H^{2}}$ eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte ${\displaystyle \gamma \subset S}$ bezeichne ${\displaystyle l(\gamma )}$ ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{\Gamma }\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$ wird durch meromorphe Fortsetzung der für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\gg 0}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\prod _{\gamma }\prod _{k=0}^{\infty }(1-e^{-l(\gamma )(s+k)})}$

gegebenen Funktion definiert.

Nullstellen

Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen ${\displaystyle s_{j}}$, die die Gleichung

${\displaystyle s_{j}(1-s_{j})=\lambda _{j}}$

für einen der Eigenwerte

${\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots }$

des Laplace-Operators auf ${\displaystyle S}$ erfüllen.

Mayerscher Transfer-Operator

Für ${\displaystyle \Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )}$ hat man die Identität

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\det(1-{\mathcal {L}}_{s}^{2})}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{s}\colon V\to V}$ den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum ${\displaystyle V}$ der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt ${\displaystyle 1}$ und Radius ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{s}\phi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2s}}}\,\phi \left({\frac {1}{z+n}}\right)}$.

Literatur

• U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. (= Mathematical Research. Vol. 83). Akademie-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-05-501690-4.
• E. d'Hoker, D. H. Phong: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. In: Nucl. Phys. B 269, 1986, S. 205–234.
• E. d'Hoker, D. H. Phong: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. In: Commun. Math. Phys. Band 104, 1986, S. 537–545.
• D. Fried: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. In: Invent. Math. Band 84, 1986, S. 523–540.
• A. Selberg: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. In: J. Indian Math. Soc. Band 20, 1956, S. 47–87.
• A. Voros: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. In: Commun. Math. Phys. Band 110, 1987, S. 439–465.

Weblinks

• Selberg Zeta Function (Math World)
• Don Zagier: New points of view on the Selberg zeta function
• Ulrich Bunke: Theta and Selberg zeta functions