Separierter Morphismus

In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein separierter Morphismus ein Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ von Schemata, sodass der Diagonalmorphismus ${\displaystyle \Delta _{X/Y}\colon X\to X\times _{Y}X}$ eine abgeschlossene Immersion ist. Separierte Morphismen sind das Analogon von Hausdorffräumen in der Theorie der Schemata über einem gegebenen Basisschema.

Formale Definition

Ein Morphismus von Schemata ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ heißt separiert, falls der Diagonalmorphismus ${\displaystyle \Delta _{X/Y}\colon X\to X\times _{Y}X}$ eine abgeschlossene Immersion ist. Hier ist der Diagonalmorphismus ${\displaystyle \Delta _{X/Y}}$ der durch die universelle Eigenschaft des Faserproduktes ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ induzierte Morphismus, wenn man diese auf das Paar ${\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{X}\colon X\to X}$ anwendet.

Der Diagonalmorphismus ist immer eine Immersion. Es ist also äquivalent zu fordern, dass die Diagonale abgeschlossenes Bild hat.

Eigenschaften

• Die Komposition zweier separierter Morphismen von Schemata ist separiert.
• Ist ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ein separierter Morphismus von Schemata und ${\displaystyle g\colon Z\to Y}$ ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ separiert.
• Ist ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ein separierter Morphismus von Schemata und sind ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ affine offene Unterschemata, sodass ${\displaystyle f(U)\cup f(V)}$ in einer affinen offenen Teilmenge von ${\displaystyle Y}$ liegt, so ist ${\displaystyle U\cap V}$ affin.
• Ist ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ein separierter Morphismus von Schemata, sodass ${\displaystyle Y}$ separiert über ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ist, und sind ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ affine offene Unterschemata, so ist ${\displaystyle U\cap V}$ affin.
• Jeder affine Morphismus ist separiert.
• Jede Immersion ist separiert.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle B\to A}$ ein beliebiger Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata ${\displaystyle X:=\operatorname {Spec} (A)\to Y:=\operatorname {Spec} (B)}$ separiert.
• Der projektive Raum über einem beliebigen Basisschema ist separiert. Insbesondere ist jedes abgeschlossene Unterschema eines projektiven Raums separiert.
• Verklebt man die affine Gerade ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ mit sich selbst an der offenen Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$, so erhält man ein Schema, welches nicht separiert über ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ist.

Einzelnachweise

1. ↑ 01KK
2. ↑ 01KJ
3. ↑ 01IQ
4. 1 2 01KU
5. ↑ 01KP
6. ↑ 01KW
7. ↑ 01S7
8. ↑ 01L7
9. ↑ 01KI