Skorochod-Integral

Das Skorochod-Integral (auch Hitsuda-Skorochod-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin-Kalküls. Das Integral ist eine Erweiterung des Itō-Integrals bezüglich der brownschen Bewegung für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz. Das Skorochod-Integral ist der Divergenz-Operator des Malliavin-Kalküls im Falle des weißen Rauschens, d. h. wenn der zugrundeliegende Hilbert-Raum ein σ-endlicher L²-Raum ist, und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperators. Bei allgemeinen Hilbert-Räumen spricht man vom Divergenz-Operator, statt vom Skorochod-Integral. Alternativ lässt sich das Skorochod-Integral auch über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Das Skorochod-Integral ist kein klassisches Integral, da es viele der üblichen Integral-Eigenschaften nicht mehr besitzt, wenn der Integrand allerdings adaptiert ist, dann stimmt es mit dem Itō-Integral überein.

Um den entsprechenden Kalkül von dem des Ogawa-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom vorwegnehmenden Kalkül oder vorausschauenden Kalkül (englisch anticipating calculus) beim Skorochod-Integral und vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral.

Das Hitsuda-Skorochod-Integral wurde 1972 () von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhängig davon 1975 () von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingeführt.

Skorochod-Integral

Sei

$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum,
$H$ ein separabler Hilbertraum,
$\{e_{n},n\geq 1\}$ eine vollständige Orthonormalbasis von $H$ ,
$\{W(h),h\in H\}$ ein isonormaler Gauß-Prozess,
${\mathcal {F}}=\sigma (W)$ ,
$\Lambda$ der Raum der Folgen mit endlichen Gliedern ungleich Null.

Für ein $a\in \Lambda$ definiere

$a!=\prod \limits _{i=1}^{\infty }a_{i}!\quad$ und $\quad |a|=\sum \limits _{i=1}^{\infty }a_{i}$ .

Betrachte nun den Fall des weißen Rauschens $H=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu )$ , wobei $\mu$ σ-endlich und atomlos auf dem messbaren Raum $(T,{\mathcal {B}})$ ist.

Definition über die Malliavin-Ableitung

Sei $D:\mathbb {D} ^{1,2}\to L^{2}(\Omega ;H)$ der Malliavin-Ableitungsoperator. Der Divergenz-Operator oder das Skorochod-Integral besitzt als Domäne alle Zufallsvariablen $X\in L^{2}(\Omega ;H)$ , so dass

|\mathbb {E} [\langle DU,X\rangle _{H}]|\leq c\|U\|_{L^{2}(\Omega )}

für alle $U\in \mathbb {D} ^{1,2}$ gilt, wobei $c$ eine Konstante ist, welche von $U$ abhängt.

Das Skorochod-Integral ist der unbeschränkte Operator ${\displaystyle \delta :L^{2}(\Omega ;H)\to L^{2}(\Omega$ definiert für ein $X\in \operatorname {dom} (\delta )$ durch

\mathbb {E} [U\delta (X)]=\mathbb {E} [\langle DU,X\rangle _{H}],

welches für alle $U\in \mathbb {D} ^{1,2}$ gilt.

Die Domäne $\mathbb {D} ^{1,2}$ ist der Malliavin-Sobolew-Raum (oder Watanabe-Sobolew-Raum). Sei $X\in \operatorname {dom} (\delta )\subset L^{2}(\Omega \times T)\cong L^{2}(\Omega ;H)$ ein Prozess, man verwendet für das Skorochod-Integral auch folgende Integral-Notation

\delta (X)=\int _{T}X_{s}\delta W_{s}.

Bemerkung

In Integral-Notation wird die Definition über die Malliavin-Ableitung zu

\mathbb {E} \left[U\int _{T}X_{s}\delta W_{s}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}D_{t}UX_{t}dt\right].

Das Skorochod-Integral lässt sich auch als Prozess darstellen $\{\delta (x1_{[0,t]}),t\in (0,|T|)\}$ .

Ist $x$ an ${\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s},s\leq t)$ adaptiert, so stimmt das Integral mit dem Itō-Integral überein.

Definition über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung

Sei $H^{{\widehat {\otimes }}n}$ der $n$ -fache symmetrische Tensorproduktraum von $H$ ausgestattet mit der Norm ${\sqrt {n!}}\|\cdot \|_{H^{\otimes n}}$ . Weiter sei $H=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}$ die Wiener-Chaos-Zerlegung, ${\mathcal {H}}_{n}$ das $n$ -te Wiener-Chaos und $a\in \Lambda$ ein Multiindex mit $|a|=n$ . Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung $n$ die lineare Isometrie $I_{n}:H^{{\hat {\otimes }}n}\to {\mathcal {H}}_{n}$ definiert durch

I_{n}(\operatorname {symm} (\otimes _{i=1}^{\infty }e_{i}^{\otimes a_{i}}))={\frac {1}{\sqrt {a!}}}\prod \limits _{i=1}^{\infty }H_{a_{i}}(W(e_{i}))

wobei $H_{a_{i}}$ das $a_{i}$ -te Hermite-Polynom ist. Nach der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung gilt für einen Prozess $X=(X_{t})_{t\in T}\in L^{2}(T\times \Omega )$ die Zerlegung

X_{t}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }I_{n}(f_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)),

wobei $f_{n}\in L^{2}(T^{n+1})$ symmetrisch in den ersten $n$ Variablen ist. Sei nun

{\tilde {f}}_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)={\frac {1}{n+1}}\left(f_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)+\sum \limits _{i=1}^{n}f_{n}(t_{1},\dots ,t_{i-1},t,t_{i+1},\dots ,t_{n},t_{i})\right)

die vollständige Symmetrisierung von $f_{n}$ , dann ist das Skorochod-Integral definiert als

\delta (X)=\int _{T}X_{t}\delta W_{t}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }I_{n+1}({\tilde {f}}_{n})

und diese Reihe konvergiert genau dann in $L^{2}(\Omega )$ wenn $X\in \operatorname {dom} (\delta )$ .

Eigenschaften

Sei $F\in \mathbb {D} ^{1,2}$ und $U\in \operatorname {dom} {\delta }$ so, dass $FU\in L^{2}(\Omega ;H)$ . Weiter sei $F\delta (U)-\langle DF,U\rangle _{H}\in L^{2}(\Omega )$ . Dann gilt $FU\in \operatorname {dom} {\delta }$ und

\delta (FU)=F\delta (U)-\langle DF,U\rangle _{H}.

Einzelnachweise

↑ Masuyuki Hitsuda: Formula for Brownian partial derivatives. In: Second Japan-USSR Symp. Probab. Th.2. 1972, S. 111–114.
↑ Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod: On a generalization of a stochastic integral. In: Th. Probab. Appl. Band 20, 1975, S. 219–233.
↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3.
↑ Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.
↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4–41, doi:10.1007/3-540-28329-3.
↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 39, doi:10.1007/3-540-28329-3.

[1] Masuyuki Hitsuda: Formula for Brownian partial derivatives. In: Second Japan-USSR Symp. Probab. Th.2. 1972, S. 111–114.

[2] Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod: On a generalization of a stochastic integral. In: Th. Probab. Appl. Band 20, 1975, S. 219–233.

[3] David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3.

[4] Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.

[5] David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4–41, doi:10.1007/3-540-28329-3.

[6] David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 39, doi:10.1007/3-540-28329-3.