Strahlensatz

Vermessung

In der Verhältnisgleichung des Strahlensatz bestimmen drei (bekannte) Größen die (möglicherweise unbekannte) vierte Größe. Dies lässt sich in der Vermessung von unzugänglichen, nicht direkt messbaren Strecken verwenden, indem man die nicht direkt messbare Strecke als (unbekannte) vierte Größe in einer Strahlensatzkonfigurationen wählt. Einfache Messgeräte, die auf diesem Prinzip beruhen, sind der Jakobsstab und das Försterdreieck. Auch der Daumensprung zum Schätzen von Entfernungen beruht auf diesem Prinzip.

Höhe der Cheops-Pyramide

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser habe mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt. In anderen Sprachen wird der Strahlensatz daher oft auch als Satz des Thales bezeichnet.

Die folgende Beispielrechnung ermittelt die Höhe der Cheopspyramide mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes, sie entspricht jedoch vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst:

Zunächst bestimmt man die Seitenlänge der Pyramide und anschließend die Länge des Schattens ebenjener. Anschließend steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und vermisst dessen Höhe und dessen Schattenlänge. Man erhält dann die folgenden Werte:

• Höhe des Stabes: ${\displaystyle A=1{,}63\,\mathrm {m} }$
• Schattenlänge des Stabes: ${\displaystyle B=2{,}00\,\mathrm {m} }$
• Direkt messbare Schattenlänge der Pyramide: ${\displaystyle 65\,\mathrm {m} }$
• Seitenlänge der Pyramide: ${\displaystyle 230\,\mathrm {m} }$
• Gesamte Schattenlänge der Pyramide: ${\displaystyle C=65\,\mathrm {m} +{\tfrac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m} }$
• Gesuchte Höhe der Pyramide: ${\displaystyle D}$

Mit Hilfe des Strahlensatzes (Skizze 2) stellt man die folgende Gleichung auf:

${\displaystyle {\frac {D}{A}}={\frac {C}{B}}}$

Die Länge der Seite ${\displaystyle C}$ des Dreiecks setzt sich dabei aus der halben Seitenlänge und der Länge des Schattens der Pyramide zusammen. Umgestellt nach D erhielt man

${\displaystyle D={\frac {A\cdot C}{B}}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot \left(65\,\mathrm {m} +{\frac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m} \right)}{2{,}00\,\mathrm {m} }}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot 180\,\mathrm {m} }{2{,}00\,\mathrm {m} }}=146{,}7\,\mathrm {m} }$.

Flussbreite

Auch in der Landvermessung kann der Strahlensatz verwendet werden, um die Länge schwer zugänglicher Strecken wie zum Beispiel die Entfernung gegenüberliegender Ufer von Gewässern zu bestimmen. Die Breite eines Flusses (siehe Grafik rechts) kann man wie folgt bestimmen. Zunächst markiert man die Endpunkte A und B der zu bestimmenden Strecke, dann konstruiert man eine zu AB rechtwinklige AC. Eine solche Konstruktion kann man zum Beispiel mit Hilfe eines Drehkreuzes, Winkelspiegels oder Doppelpentagonprisma durchführen. Auf AC wählt man einen (beliebigen) Punkt E von dem man aus den Punkt B am anderen Ufer anpeilt und die Strecke EB dann über E hinaus in die entgegengesetzte Richtung verlängert. Dann konstruiert man im Punkt C eine zu AC rechtwinklige Strecke, die die Verlängerung von EB im Punkt D schneidet. Da die Strecken AE, CE und CD alle auf derselben Uferseite liegen, lassen sie sich einfach vermessen und der zweite Strahlensatz liefert dann die gesuchte Flussbreite:

${\displaystyle |AB|={\frac {|AE|\cdot |CD|}{|CE|}}}$

Teilung einer Strecke

Der erste Strahlensatz ermöglicht, mit einem einfachen Verfahren – ohne Berechnungen oder Messungen – eine Strecke in einem (ganzzahligen) Verhältnis ${\displaystyle m:n}$ (${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$) zu teilen. Zu einer gegebenen Strecke AB zeichnet man einen Strahl mit Startpunkt in A ein. Dann trägt man auf dem Strahl beginnend an A m+n gleich lange und aufeinander folgende Strecken ab. Den Endpunkt der m+n-ten Strecke verbindet man mit B und zeichnet dann die Parallele zu dieser Strecke durch den Endpunkt der m-ten Strecke. Diese Parallele teilt die Strecke AB im gewünschten Verhältnis ${\displaystyle m:n}$.

Satz 1

Die Lote von ${\displaystyle A'}$ bzw. ${\displaystyle B'}$ auf die Gerade ${\displaystyle AB}$ haben die gleiche Länge, da ${\displaystyle AB}$ parallel zu ${\displaystyle A'B'}$ ist. Diese Lote sind Höhen der Dreiecke ${\displaystyle ABB'}$ bzw. ${\displaystyle ABA'}$, welche die zugehörige Grundseite ${\displaystyle [AB]}$ gemeinsam haben. Nach dem Satz über die Dreiecksfläche gilt daher

${\displaystyle |\triangle ABB'|=|\triangle ABA'|}$.

Hieraus folgt

${\displaystyle |\triangle ABB'|+|\triangle ZBA|=|\triangle ABA'|+|\triangle ZBA|}$

oder flächenvereint

${\displaystyle |\triangle ZB'A|=|\triangle ZBA'|}$.

Aus der ersten Zeile folgt:

${\displaystyle {\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ABB'|}}={\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ABA'|}}}$

und aus der zweiten:

${\displaystyle {\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ZB'A|}}={\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ZBA'|}}}$

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken (${\displaystyle {\tfrac {g\cdot h}{2}}}$) liefert dann

${\displaystyle {\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|BB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|AA'|\cdot |EB|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|ZB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|ZA'|\cdot |EB|}}}$

Kürzen liefert die ersten beiden Gleichungen aus Satz 1

${\displaystyle {\frac {|ZB|}{|BB'|}}={\frac {|ZA|}{|AA'|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|ZB|}{|ZB'|}}={\frac {|ZA|}{|ZA'|}}}$.

Aus der letzten Gleichung erhält man dann

${\displaystyle 1-{\frac {|ZB|}{|ZB'|}}=1-{\frac {|ZA|}{|ZA'|}}}$

Nun bringt man auf beiden Seiten den jeweiligen Ausdruck auf den gleichen Nenner

${\displaystyle {\frac {|ZB'|-|ZB|}{|ZB'|}}={\frac {|ZA'|-|ZA|}{|ZA'|}}}$

und dies entspricht dann der dritten Gleichung aus Satz 1

${\displaystyle {\frac {|BB'|}{|ZB'|}}={\frac {|AA'|}{|ZA'|}}}$

Satz 1 – Beweis nach Archimedes

Archimedes reichte es, die Gleichheit zweier Seitenverhältnisse für einen Fall nachzuweisen. Die anderen Fälle ergeben sich daraus unmittelbar.

Der Beweis wird nicht zitiert, sondern lediglich gemäß der Archimedischen Methodenlehre ausgeführt. Mit den üblichen Seiten- und Winkelbezeichnungen für die Dreiecke ${\displaystyle ABZ}$ und ${\displaystyle A'B'Z}$ (siehe nebenstehende Skizze) wird gezeigt, dass ${\displaystyle {\frac {a}{a^{\prime }}}={\frac {b}{b^{\prime }}}}$ (entspricht ${\displaystyle {\tfrac {\overline {BZ}}{\overline {B'Z}}}={\tfrac {\overline {AZ}}{\overline {A'Z}}}}$) gilt. Die Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \alpha }$' sowie ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \beta }$' sind als Stufenwinkel gleich.

Vorgehensweise

Bezeichne die Höhen, die durch das Lot von ${\displaystyle Z}$ auf die Geraden gegeben sind, mit ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle h'}$ sowie deren Fußpunkte mit ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle H'}$. Da ${\displaystyle \alpha }$ gleich ${\displaystyle \alpha }$' ist, haben jeweils die „ferne“ Kathete und die Hypotenuse in beiden rechtwinkligen Dreiecken ${\displaystyle AHZ}$ und ${\displaystyle A'H'Z}$ dasselbe Verhältnis zueinander. (In „moderner“ Formulierung: ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ gleich Gegenkathete von ${\displaystyle \alpha }$ zu Hypotenuse).

Demzufolge gilt

${\displaystyle {\frac {h}{b}}={\frac {h^{\prime }}{b^{\prime }}}}$ und daher ${\displaystyle {\frac {h}{h^{\prime }}}={\frac {b}{b^{\prime }}}}$.

Aus ${\displaystyle \beta }$ gleich ${\displaystyle \beta }$' folgen durch entsprechende Betrachtung der Dreiecke ${\displaystyle HBZ}$ und ${\displaystyle H'B'Z}$ die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {h}{a}}={\frac {h^{\prime }}{a^{\prime }}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {h}{h^{\prime }}}={\frac {a}{a^{\prime }}}}$.

Und schließlich

${\displaystyle {\frac {a}{a^{\prime }}}={\frac {b}{b^{\prime }}}}$.

Was zu beweisen war.

Satz 2

Der Satz 2 ist die konstruktive Erweiterung von Satz 1.

Konstruiere eine Parallele zu ${\displaystyle ZB'}$ durch ${\displaystyle A}$. Diese Parallele schneidet ${\displaystyle A'B'}$ in ${\displaystyle G}$.

Wegen ${\displaystyle |AB|=|B'G|}$ gilt aufgrund von Satz 1:

${\displaystyle {\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|B'G|}{|A'B'|}}}$ worin sich ${\displaystyle |B'G|}$ durch ${\displaystyle |AB|}$ ersetzen lässt: ${\displaystyle {\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|AB|}{|A'B'|}}}$

Umkehrung von Satz 1

Angenommen ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle A'B'}$ wären nicht parallel. Dann gibt es eine Parallele zu ${\displaystyle AB}$, die durch den Punkt ${\displaystyle B'}$ geht und den Strahl ${\displaystyle ZA}$ in ${\displaystyle A'_{0}\neq A'}$ (*) schneidet. Da nach Voraussetzung ${\displaystyle {\tfrac {|ZA'|}{|ZA|}}={\tfrac {|ZB'|}{|ZB|}}}$ gilt, ergibt sich

${\displaystyle |ZA'|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}}$

Andererseits gilt nach dem ersten Strahlensatz auch

${\displaystyle |ZA'_{0}|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}}$.

Dies bedeutet, dass ${\displaystyle A'}$ und ${\displaystyle A'_{0}}$ beide auf dem Strahl ${\displaystyle ZA}$ liegen und den gleichen Abstand von ${\displaystyle Z}$ haben. Damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also ${\displaystyle A'=A'_{0}}$. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich nach Bedingung (*) um 2 verschiedene Punkte handeln soll. Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein; oder anders ausgedrückt: Es muss ${\displaystyle AB\parallel A'B'}$ gelten.

Mehr als zwei Geraden

Satz 2 lässt sich zu Aussagen über drei oder mehr Geraden erweitern.

Ziehe eine Gerade durch ${\displaystyle Z}$ und ${\displaystyle AB}$, dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ auf ${\displaystyle AB}$ sowie ${\displaystyle C'}$ auf ${\displaystyle A'B'}$. Konstruiere eine Parallele zu ${\displaystyle ZB'}$ durch ${\displaystyle C}$, die ${\displaystyle A'B'}$ in ${\displaystyle G'}$ schneidet.

Wegen ${\displaystyle |AB|=|B'G|}$ und ${\displaystyle |BC|=|B'G'|}$ gilt aufgrund von Satz 2

${\displaystyle {\frac {|BC|}{|B'C'|}}={\frac {|ZC|}{|ZC'|}}={\frac {|CA|}{|C'A'|}},}$

oder umgestellt auch

${\displaystyle {\frac {|BC|}{|CA|}}={\frac {|B'C'|}{|C'A'|}}}$.