Talbot-Methode

Die Talbot Methode (oft auch Talbot-Algorithmus genannt) ist eine numerische Methode, um die inverse Laplace-Transformierte zu approximieren. $F (p)$ ist die bereits bekannte Laplace-Transformierte der gesuchten Funktion $f (t)$ . Mittels der Talbot-Methode kann $f (t)$ entsprechend folgender Vorschrift näherungsweise gefunden werden:

f (t) \approx \frac{r}{N} (\frac{F (r) \cdot e^{r t}}{2} + \sum_{k = 1}^{N - 1} ℜ (e^{t \cdot p (θ_{k})} \cdot F (p (θ_{k})) \cdot (1 + i ζ (θ_{k}))))

Dabei gilt:

p (θ) = r \cdot θ \cdot (c o t (θ) + i)

r = \frac{2 \cdot N}{5 \cdot t}

ζ (θ_{k}) = θ_{k} + (θ_{k} \cdot c o t (θ_{k}) - 1) \cdot c o t (θ_{k})

θ_{k} = \frac{k \cdot π}{N}

In Programmiersprachen, die mit komplexen Zahlen rechnen können und wo trigonometrische Funktionen vorprogrammiert sind (bsp. Python, Octave, MATLAB, Mathematica), ist die Methode einfach zu implementieren. Je größer man $N$ wählt umso größere Bereiche von $f (t)$ werden korrekt approximiert. Allerdings nimmt damit auch die Rechenzeit zu. Die Maschinengenauigkeit begrenzt das größtmögliche $N$ , das rauschfreie Resultate liefert.

Geschichte

Die Methode wurde 1979 von A. Talbot publiziert.

Beispiel

Beispielimplementierung in GNU Octave:

 function endwert = talbot(N,funktion,t)

 r = 2*N/(5*t);
 summe = funktion(r)*exp(r*t)/2;
 for k = 1:N-1
     thetak = k*pi/N;
     pk = r*thetak*(cot(thetak) + I);
     zk = thetak + cot(thetak)*(thetak*cot(thetak) - 1);
     summe = summe + real( exp(t*pk)*funktion(pk)*(1+I*zk) );
 endfor

 endwert = summe*(r/N);
 return

 endfunction

Einzelnachweise

↑ Kristopher L. Kuhlman: Review of inverse Laplace transform algorithms for Laplace-space numerical approaches. In: Numer. Algor. 63. Jahrgang, 2013, S. 339 – 355, doi:10.1007/s11075-012-9625-3 (englisch).
↑ J. Abate, P. P. Valko: Multi-precision Laplace transform inversion. In: Int. J. Numer. Meth. Engng. 60. Jahrgang, 2004, S. 979–993, doi:10.1002/nme.995 (englisch).
↑ A. Talbot: The accurate numerical inversion of Laplace transforms. In: IMA J. Appl. Math. 23. Jahrgang, Nr. 1, 1979, S. 97, doi:10.1093/imamat/23.1.97 (englisch).

[1] Kristopher L. Kuhlman: Review of inverse Laplace transform algorithms for Laplace-space numerical approaches. In: Numer. Algor. 63. Jahrgang, 2013, S. 339 – 355, doi:10.1007/s11075-012-9625-3 (englisch).

[2] J. Abate, P. P. Valko: Multi-precision Laplace transform inversion. In: Int. J. Numer. Meth. Engng. 60. Jahrgang, 2004, S. 979–993, doi:10.1002/nme.995 (englisch).

[3] A. Talbot: The accurate numerical inversion of Laplace transforms. In: IMA J. Appl. Math. 23. Jahrgang, Nr. 1, 1979, S. 97, doi:10.1093/imamat/23.1.97 (englisch).