Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also

1 + 2 + 3 + 6 = 12

.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Sind $t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}$ alle Teiler der natürlichen Zahl $n$ , so nennt man $σ (n) = t_{1} + t_{2} + \dots + t_{k}$ die Teilersumme von $n$ . Dabei sind 1 und $n$ selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion $n \mapsto σ (n)$ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

.

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe $σ^{*} (n)$ der echten Teiler der natürlichen Zahl $n$ ist die Summe der Teiler von $n$ ohne die Zahl $n$ selbst.

Beispiel:

σ^{*} (6) = 1 + 2 + 3 = 6

.

Es gilt die Beziehung

σ (n) - n = σ^{*} (n)

.

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl $n > 1$ heißt

defizient oder teilerarm, wenn

σ^{*} (n) < n

,

abundant oder teilerreich, wenn

σ^{*} (n) > n

,

vollkommen, wenn

σ^{*} (n) = n

.

Beispiele:

σ^{*} (6) = 1 + 2 + 3 = 6

, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

σ^{*} (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

, d. h. 12 ist abundant.

σ^{*} (10) = 1 + 2 + 5 = 8 < 10

, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Für jede Primzahl $p$ gilt

σ (p) = p + 1

.

Beweis: Per Definition hat $p$ nur die Teiler $1$ und $p$ . Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei $p$ eine Primzahl und $k \in ℕ_{0}$ . Dann gilt für die Potenz $p^{k}$ :

σ (p^{k}) = \sum_{j = 0}^{k} p^{j} = \frac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}

.

Beweis: Da $p$ eine Primzahl ist, hat $p^{k}$ nur die Teiler $p^{0}, p^{1}, \dots, p^{k}$ . Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

σ (2^{3}) = \frac{2^{4} - 1}{2 - 1} = \frac{16 - 1}{1} = 15

σ (8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien $a$ und $b$ verschiedene Primzahlen. Dann gilt

σ (a \cdot b) = σ (a) \cdot σ (b)

.

Beweis: Die Zahl $a b$ besitzt genau die Teiler $1, a, b$ und $a b$ . Daraus folgt

σ (a \cdot b) = 1 + a + b + a b = (a + 1) (b + 1) = σ (a) \cdot σ (b)

.

Beispiel:

σ (3 \cdot 5) = σ (15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24

σ (3) \cdot σ (5) = (1 + 3) \cdot (1 + 5) = 4 \cdot 6 = 24

Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

Sind $a$ und $b$ teilerfremde Zahlen, so gilt

σ (a \cdot b) = σ (a) \cdot σ (b)

.

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

Beispiel:

σ (4 \cdot 9) = σ (36) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91

σ (4) \cdot σ (9) = (1 + 2 + 4) \cdot (1 + 3 + 9) = 7 \cdot 13 = 91

Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

Sei $n \in ℕ$ mit der Primfaktorzerlegung $n = p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot \dots \cdot p_{r}^{k_{r}}$ . Dann gilt

σ (n) = \frac{p_{1}^{k_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} \cdot \dots \cdot \frac{p_{r}^{k_{r} + 1} - 1}{p_{r} - 1}

.

Beispiel:

σ (84) = σ (2^{2} \cdot 3 \cdot 7) = \frac{2^{3} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^{2} - 1}{3 - 1} \cdot \frac{7^{2} - 1}{7 - 1} = 7 \cdot 4 \cdot 8 = 224.

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl $n$ seien $x = 3 \cdot 2^{n} - 1, y = 3 \cdot 2^{n - 1} - 1$ und $z = 9 \cdot 2^{2 n - 1} - 1$ .

Wenn $x$ , $y$ und $z$ Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen $a = 2^{n} x y$ und $b = 2^{n} z$ befreundet, d. h. $σ^{*} (a) = b$ und $σ^{*} (b) = a$ .

Beweis: $\begin{matrix} σ^{*} (a) & = σ (a) - a \\ = σ (2^{n} \cdot x \cdot y) - a \\ = (2^{n + 1} - 1) (x + 1) (y + 1) - a & (Satz 4) \\ = (2^{n + 1} - 1) (3 \cdot 2^{n}) (3 \cdot 2^{n - 1}) - 2^{n} (3 \cdot 2^{n} - 1) (3 \cdot 2^{n - 1} - 1) \\ = (2^{n + 1} - 1) \cdot 9 \cdot 2^{2 n - 1} - 2^{n} (9 \cdot 2^{2 n - 1} - 6 \cdot 2^{n - 1} - 3 \cdot 2^{n - 1} + 1) \\ = 2 \cdot 2^{n} \cdot 9 \cdot 2^{2 n - 1} - 9 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n - 1} - 2^{n} (9 \cdot 2^{2 n - 1} - 9 \cdot 2^{n - 1} + 1) \\ = 2^{n} (18 \cdot 2^{2 n - 1} - 9 \cdot 2^{n - 1} - 9 \cdot 2^{2 n - 1} + 9 \cdot 2^{n - 1} - 1) \\ = 2^{n} (9 \cdot 2^{2 n - 1} - 1) \\ = 2^{n} \cdot z \\ = b \end{matrix}$

Analog zeigt man $σ^{*} (b) = a$ .

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl $n$ kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von $n$ explizit Bezug genommen wird:

σ (n) = \sum_{μ = 1}^{n} \sum_{ν = 1}^{μ} \cos 2 π \frac{ν n}{μ}

Beweis: Die Funktion

T (n, μ) = \frac{1}{μ} \sum_{ν = 1}^{μ} \cos 2 π \frac{ν n}{μ}, n = 1, 2, \dots, μ = 1, 2, \dots

wird 1, wenn $μ$ ein Teiler von $n$ ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich $μ$ ein Teiler von $n$ . Dann ist der Quotient $\frac{ν n}{μ}$ ganzzahlig, somit ist $\cos 2 π \frac{ν n}{μ}$ gleich 1. Die Summation über $ν$ ergibt $μ$ , woraus $T (n, μ) = 1$ folgt.

Sei nun $μ$ kein Teiler von $n$ . Es gilt dann

T (n, μ) = \frac{1}{μ} \sum_{ν = 1}^{μ} \cos 2 π \frac{ν n}{μ} = \frac{1}{μ} \frac{\sin π n \cos \frac{π (μ + 1) n}{μ}}{\sin \frac{π n}{μ}} = 0.

Damit ist gezeigt, dass $T (n, μ)$ genau dann gleich 1 ist, wenn $μ$ ein Teiler von $n$ ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt $T (n, μ)$ mit $μ^{k}$ und summiert das Produkt über alle Werte $μ = 1$ bis $μ = n$ , so entsteht nur dann ein Beitrag $μ^{k}$ zur Summe, wenn $μ$ ein Teiler von $n$ ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

σ_{k} (n) = \sum_{μ = 1}^{n} μ^{k - 1} \sum_{ν = 1}^{μ} \cos 2 π \frac{ν n}{μ}, k = 0, \pm 1, \dots

deren Spezialfall $k = 1$ die einfache Teilersumme $σ (n)$ ist.

Siehe auch

Literatur

Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.
Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.

Einzelnachweise

↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.
↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.
↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.
↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.

[:0-1] Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.

[2] Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.

[3] Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.

[4] G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.