Vielfach-Zetafunktion

In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},}$

Obige Reihe konvergiert wenn ${\displaystyle Re(s_{1})+\ldots +Re(s_{i})>i}$ für alle ${\displaystyle i}$, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{k}}$ mit ${\displaystyle s_{1}>1}$ werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt ${\displaystyle n=s_{1}+\ldots +s_{k}}$ das „Gewicht“ und ${\displaystyle k}$ die „Länge“ des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für ${\displaystyle 1<s\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \zeta (s,1)={\frac {1}{2}}s\zeta (s+1)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{s-1}\zeta (k)\zeta (s+1-k)}$.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle \zeta (2,1)=\zeta (3)}$.

Allgemein kann man, wenn ${\displaystyle m+n}$ ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (m,n)}$ als rationale Linearkombination von ${\displaystyle \zeta (m+n)}$ und ${\displaystyle \zeta (k)\zeta (m+n-k)}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ darstellen.

Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\frac {1}{2\pi i}}\right]}$-Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen. Für den Spezialfall des durch den Modulraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,n}}$ von Kurven des Geschlechts 0 mit ${\displaystyle n}$ markierten Punkten und die relative Kohomologie ${\displaystyle H^{l}({\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}-A,B-B\cap A)}$ definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen. Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.

Literatur

1. ↑ Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives
2. ↑ Brown: Multiple zeta values and periods of moduli spaces, Annales Scientifiques de l’ENS, Band 42, 2009, S. 371–489, Abstract
3. ↑ Brown: Mixed Tate motives over Z

Weblinks

• Deligne: "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points" (PDF; 4,2 MB) erklärt den Zusammenhang zwischen gemischten Tate-Motiven und Vielfach-Zetafunktionen.