Volumenstarrheit

Volumenstarrheit (engl.: volume rigidity) bezeichnet zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik.

Volumenstarrheit nach Thurston und Besson-Courteois-Gallot

Satz (Thurston): Wenn $f : M_{1} \to M_{2}$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n \geq 3$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

d e g (f) \leq \frac{V o l (M_{1})}{V o l (M_{2})}

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Satz (Besson-Courteois-Gallot, Boland-Connell-Souto): Wenn $f : (M_{1}, g_{1}) \to (M_{2}, g_{2})$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n \geq 3$ mit

R i c (g_{1}) \geq - (n - 1) g_{1}, - a \leq K (g_{2}) \leq - 1

für eine Konstante $a \geq 1$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

d e g (f) \leq \frac{V o l (M_{1})}{V o l (M_{2})}

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Volumenstarrheit nach Goldman

Satz (Goldman): Sei $Σ_{g}$ eine geschlossene hyperbolische Fläche und $ρ : π_{1} Σ_{g} \to I s o m^{+} (ℍ^{2}) = P S L (2, ℝ)$ eine Darstellung. Dann gilt

v o l (ρ) \leq v o l (Σ_{g})

und Gleichheit nur dann, wenn $ρ$ diskret und treu ist.

Satz (Dunfield, Francaviglia-Klaff): Sei $M$ eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension $n \geq 3$ und $ρ : π_{1} M \to I s o m^{+} (ℍ^{n}) = S O (n, 1)_{0}$ eine Darstellung. Dann gilt

v o l (ρ) \leq v o l (M)

und Gleichheit nur dann, wenn $ρ$ diskret und treu ist.

Satz (Korollar zum Superstarrheitssatz): Sei $M = Γ ∖ G / K$ ein kompakter lokal symmetrischer Raum nichtkompakten Typs mit $G$ ohne $S O (n, 1)$ - oder $S U (n, 1)$ -Faktor, und $ρ : Γ \to G$ eine Darstellung. Dann gilt

v o l (ρ) \leq v o l (M)

und Gleichheit nur dann, wenn $ρ$ diskret und treu ist.

Literatur

W. Goldman: Topological components of spaces of representations. Invent. Math. 93, 1988, S. 557–607.
G. Besson, G. Courteois, S. Gallot: Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement negative. G.A.F.A. 5, 1995, S. 731–799.
N. Dunfield: Cyclic surgery, degrees of maps of character curves, and volume rigidity for hyperbolic manifolds. Invent. Math. 136, 1999, S. 623–657.
J. Boland, C. Connell, J. Souto: Volume rigidity for finite volume manifolds. Amer. J. Math. 127, 2005, S. 535–550.
S. Francaviglia, B. Klaff: Maximal volume representations are Fuchsian. Geom. Dedic. 117, 2006, S. 111–124.