Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ( $ℝ^{3}$ ), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Die Weingartenabbilung ist die negative Derivierte der Gauß-Abbildung der Fläche und somit faserweise linear. Sie beschreibt die (negative) differenzielle Änderung des Normalenvektors. Da die Krümmung einer Fläche anschaulich durch Änderung der Richtung der Flächennormalen beschrieben wird, können aus den Eigenschaften der Weingartenabbildung Krümmungseigenschaften der Fläche abgeleitet werden.

Die Definition der Weingartenabbildung ist in der Literatur nicht einheitlich: Die Weingartenabbildung kann auf verschiedenen Räumen gelesen werden und auch mit dem umgekehrten Vorzeichen versehen sein. Ihr Zweck bleibt aber immer derselbe, nämlich Änderungen der Normalenrichtungen in erster Ordnung linear zu erfassen.

Vorbereitung

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

\begin{matrix} X : ℝ^{2} \supset A & \to ℝ^{3} \\ (u, v) & \mapsto X (u, v) \end{matrix}

gegeben. Dabei sei $X$ mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt $(u, v)$ habe die Ableitung $D X_{(u, v)}$ , eine lineare Abbildung von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{3}$ , vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des $ℝ^{3}$ , der Tangentialraum der Fläche im Punkt $p = X (u, v)$ . Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt $p = X (u, v)$ angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

X_{1} (u, v) = X_{u} (u, v) = \frac{\partial X}{\partial u} (u, v) = D X_{(u, v)} (e_{1})

und

X_{2} (u, v) = X_{v} (u, v) = \frac{\partial X}{\partial v} (u, v) = D X_{(u, v)} (e_{2})

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen $e_{1}$ und $e_{2}$ die Einheitsvektoren der Standardbasis des $ℝ^{2}$ .)

Die Einheitsnormale $N (u, v)$ im Punkt $p = X (u, v)$ der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

N (u, v) = \frac{X_{u} (u, v) \times X_{v} (u, v)}{| X_{u} (u, v) \times X_{v} (u, v) |}

Somit ist $N$ eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich $A \subset ℝ^{2}$ in den Vektorraum $ℝ^{3}$ . Den Bildvektor $N (u, v)$ denkt man sich angeheftet an den Punkt $p = X (u, v)$ . Die Ableitung $D N_{(u, v)}$ im Punkt $(u, v)$ ist eine lineare Abbildung von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{3}$ . Aus der Bedingung, dass $N (u, v)$ ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar $(u, v)$ das Bild der Abbildung $D N_{(u, v)}$ im Tangentialraum der Fläche im Punkt $p = X (u, v)$ liegt und somit im Bild der Abbildung $D X_{(u, v)}$ . Da $D X_{(u, v)}$ injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung $(D X_{(u, v)})^{- 1}$ als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt $X (u, v)$ .

Definition

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich

Die Abbildung $D N_{(u, v)}$ bildet den $ℝ^{2}$ auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt $X (u, v)$ ab. Die Abbildung $(D X_{(u, v)})^{- 1}$ bildet diesen Tangentialraum wieder auf den $ℝ^{2}$ ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

L_{(u, v)} = - (D X_{(u, v)})^{- 1} \circ D N_{(u, v)}

von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{2}$ heißt Weingartenabbildung an der Stelle $(u, v)$ .

Auf der Fläche

Die Abbildung $(D X_{(u, v)})^{- 1}$ bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt $p = X (u, v)$ in den $ℝ^{2}$ ab. Die Abbildung $D N_{(u, v)}$ bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

L_{X (u, v)} = - D N_{(u, v)} \circ (D X_{(u, v)})^{- 1}

bildet den Tangentialraum im Punkt $p = X (u, v)$ auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt $p = X (u, v)$ . Es gilt also

L_{X (u, v)} X_{i} (u, v) = - N_{i} (u, v)

für

i = 1, 2

.

Koordinatendarstellung

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis $X_{u} (u, v)$ , $X_{v} (u, v)$ , so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

(\begin{matrix} h^{1}_{1} (u, v) & h^{1}_{2} (u, v) \\ h^{2}_{1} (u, v) & h^{2}_{2} (u, v) \end{matrix})

überein. Sie sind durch die Gleichungen

L_{X (u, v)} (X_{u} (u, v)) = - N_{u} (u, v) = h^{1}_{1} (u, v) X_{u} (u, v) + h^{2}_{1} (u, v) X_{v} (u, v)

L_{X (u, v)} (X_{v} (u, v)) = - N_{v} (u, v) = h^{1}_{2} (u, v) X_{u} (u, v) + h^{2}_{2} (u, v) X_{v} (u, v)

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit $X_{1} = X_{u}$ , $X_{2} = X_{v}$ , $N_{1} = N_{u} = D N_{(u, v)} (e_{1})$ , $N_{2} = N_{v} = D N_{(u, v)} (e_{2})$ und unter Weglassung des Arguments:

L (X_{j}) = - N_{j} = h^{i}_{j} X_{i}

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Für jedes Parameterpaar $(u, v)$ ist die erste Fundamentalform $g_{(u, v)}$ ein Skalarprodukt im $ℝ^{2}$ und die zweite Fundamentalform $h_{(u, v)}$ eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren $w_{1}, w_{2} \in ℝ^{2}$ gilt

h (w_{1}, w_{2}) = g (w_{1}, L w_{2})

.

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

h_{i k} = g_{i j} h^{j}_{k}

und

h^{i}_{k} = g^{i j} h_{j k} .

Eigenschaften

Die Weingartenabbildung $L$ ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform $g$ , das heißt, für alle $w_{1}, w_{2} \in ℝ^{2}$ gilt
$g (w_{1}, L w_{2}) = g (L w_{1}, w_{2}) .$
In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von $L$ , die orthonormal bezüglich $g$ ist.
Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
Für einen Vektor $w \in T_{(u, v)} ℝ^{2}$ beschreibt $L w$ die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Beispiel

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius $r > 0$ betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

X (u, v) = (\begin{matrix} r \sin u \cos v \\ r \sin u \sin v \\ r \cos u \end{matrix})

parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $g_{u u} = r^{2}$ , $g_{u v} = g_{v u} = 0$ , sowie $g_{v v} = r^{2} \sin^{2} u$ .

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $h_{u u} = - r$ , $h_{u v} = h_{v u} = 0$ , sowie $h_{v v} = - r \sin^{2} u$ .

Beide sind durch die Gleichung $h_{i k} = g_{i j} h^{j}_{k}$ miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

h_{u u} = g_{u u} h^{u}_{u} + g_{u v} h^{v}_{u}

h_{u v} = g_{u u} h^{u}_{v} + g_{u v} h^{v}_{v}

h_{v u} = g_{v u} h^{u}_{u} + g_{v v} h^{v}_{u}

h_{v v} = g_{v u} h^{u}_{v} + g_{v v} h^{v}_{v}

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

h^{u}_{u} = h^{v}_{v} = - \frac{1}{r}

h^{u}_{v} = h^{v}_{u} = 0

Alternativ hätte auch die explizite Formel $h^{i}_{k} = g^{i j} h_{j k}$ genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die $g^{i j}$ zu erhalten.

Literatur

Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.