Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.

Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Weyl-Fermionen wurden erstmals 2015, 86 Jahre nachdem Hermann Weyl sie vorhergesagt hatte, experimentell nachgewiesen.

Formulierung

\begin{matrix} i σ^{μ} \partial_{μ} Ψ_{R} & = 0 \\ i {\bar{σ}}^{μ} \partial_{μ} Ψ_{L} & = 0 \end{matrix}

mit

der imaginären Einheit $i$
$σ^{μ} = (\begin{matrix} σ^{0} & + \vec{σ} \end{matrix})$
σ¯μ=(σ0−σ→)
- der zweidimensionalen Einheitsmatrix $σ^{0}$
- den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen $\vec{σ}$ .

Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall

$Ψ_{L}$ das linkshändige Neutrino
$Ψ_{R}$ das rechtshändige Antineutrino.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{L} \\ Ψ_{R} \end{matrix})

Die 2er-Spinoren $Ψ_{L}$ und $Ψ_{R}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators $γ^{5}$ , wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:

\begin{matrix} γ^{5} (\begin{matrix} Ψ_{L} \\ 0 \end{matrix}) & = - (\begin{matrix} Ψ_{L} \\ 0 \end{matrix}) \\ γ^{5} (\begin{matrix} 0 \\ Ψ_{R} \end{matrix}) & = + (\begin{matrix} 0 \\ Ψ_{R} \end{matrix}) \end{matrix}

.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

(i γ^{μ} \partial_{μ} - m) Ψ = (\begin{matrix} - m & i σ^{μ} \partial_{μ} \\ i {\bar{σ}}^{μ} \partial_{μ} & - m \end{matrix}) (\begin{matrix} Ψ_{L} \\ Ψ_{R} \end{matrix}) = 0

.

Verschwindet die Masse ( $m = 0$ ), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.

Chirale Kopplung

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt werden:

D_{μ} = \partial_{μ} - i g T_{a} W_{μ}^{a}

Dabei bezeichnen

$g$ die Kopplungskonstante,
$T_{a}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
$W_{μ}^{a}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

Einzelnachweise

↑ Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung. Spektrum, abgerufen am 27. August 2024.
↑ Rainer Scharf: Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen. Welt der Physik, abgerufen am 27. August 2024.
↑ B. Q. Lv, H. M. Weng, B. B. Fu, X. P. Wang, H. Miao, J. Ma, P. Richard,1,2 X. C. Huang,1 L. X. Zhao, G. F. Chen, Z. Fang, X. Dai, T. Qian and H. Ding: Experimental Discovery of Weyl Semimetal TaAs. In: American Physical Society. 2015, doi:10.1103/PhysRevX.5.031013 (englisch).

[1] Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung. Spektrum, abgerufen am 27. August 2024.

[2] Rainer Scharf: Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen. Welt der Physik, abgerufen am 27. August 2024.

[3] B. Q. Lv, H. M. Weng, B. B. Fu, X. P. Wang, H. Miao, J. Ma, P. Richard,1,2 X. C. Huang,1 L. X. Zhao, G. F. Chen, Z. Fang, X. Dai, T. Qian and H. Ding: Experimental Discovery of Weyl Semimetal TaAs. In: American Physical Society. 2015, doi:10.1103/PhysRevX.5.031013 (englisch).