Wiener-Wurst

Die Wiener-Wurst bezeichnet in der Mathematik einen stochastischen Prozess, der eine $ε$ -Umgebung der brownschen Bewegung bzw. des Wienerprozesses ist.

Die Wiener-Wurst ist nach Norbert Wiener benannt.

Wiener-Wurst

Sei $(B_{t})_{t \geq 0}$ ein $d$ -dimensionaler Standard-Wienerprozess. Die Wiener-Wurst ist der durch den Radius $ε > 0$ und die $ε$ -Umgebung $U_{ε}$ induzierte Prozess

W^{(ε)} (t) = ⋃_{s \leq t} U_{ε} (B_{s}) .

Resultate

Volumen der Wiener-Wurst

Sei $V (t, ε)$ das Lebesgue-Maß der Wiener-Wurst, dann gilt

lim_{t \to \infty} t^{- d / (2 + d)} \log 𝔼 [e^{- ν V (t, ε)}] = - k (d) ν^{2 / (2 + d)},

wobei

k (d) = \frac{d + 2}{d} {(\frac{2 λ_{d}}{d})}^{d / (d + 2)} ω_{d}^{2 / (2 + d)}

unabhängig von $ε$ und $ν$ ist. $λ_{d}$ bezeichnet den kleinsten Eigenwert des Dirichletproblems $Δ \frac{1}{2}$ auf dem Einheitsball in $ℝ^{d}$ ( $Δ$ ist der Laplace-Operator) und $ω_{d}$ ist das Volumen des $d$ -dimensionalen Einheitsballes. Das Resultat wurde von Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan mit Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet.

Einzelnachweise

↑ Erwin Bolthausen: On the Volume of the Wiener Sausage. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 18, Nr. 4, 1989, S. 1576–1582, doi:10.1214/aop/1176990633.
↑ Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan: Asymptotics for the wiener sausage. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 28, Nr. 4, 1975, S. 525–565, doi:10.1002/cpa.3160280406.

[1] Erwin Bolthausen: On the Volume of the Wiener Sausage. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 18, Nr. 4, 1989, S. 1576–1582, doi:10.1214/aop/1176990633.

[2] Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan: Asymptotics for the wiener sausage. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 28, Nr. 4, 1975, S. 525–565, doi:10.1002/cpa.3160280406.