Zwangskraft

Als Zwangskraft bezeichnet man in der technischen und theoretischen Mechanik diejenige Kraft, die bewirkt, dass ein Körper sich aus einem durch vorgegebene Zwangsbedingungen vorgeschriebenen Bereich nicht herausbewegen kann.

Eine äußere Kraft, die keine Zwangskraft ist, bezeichnet man zu Unterscheidungszwecken auch als „eingeprägte Kraft“. Die gesamte auf den Körper wirkende Kraft ist die Summe aus eingeprägter Kraft und Zwangskraft. Das Unterscheidungsmerkmal ist, dass eine eingeprägte Kraft nach Größe und Richtung physikalisch vorgegeben ist (etwa die Gewichtskraft, der Winddruck, Coulombsche Gleitreibungskräfte), während die Zwangskraft nach Größe und Richtung je nach konkretem Ablauf der Bewegung so entsteht, wie es erforderlich ist, dass der Körper die vorgegebene Einschränkung seiner Bewegungsfreiheit befolgt (etwa durch starre Führung).

Zwangskräfte haben mit den durch Zwängung verursachten Kräften gemein, dass äußere Bewegungseinschränkungen für die Entstehung verantwortlich sind und dass sie der Größe nach variieren (im ersten Fall abhängig von der Bewegung des betrachteten Körpers, im zweiten Fall abhängig von den Umgebungsbedingungen). Gegenüber den Zwangskräften ist die Zwängung jedoch ein Begriff der Statik. Relevant sind dort die durch die Zwängung verursachten inneren Spannungen der Bauteile mit Blick auf ihre Festigkeit.

Mathematische Fassung

Zu einer im dreidimensionalen Raum gegebenen Kurve ${\displaystyle f(r,\phi ,t)\,=\,0}$ bzw. ${\displaystyle f(x,y,z,t)\,=\,0}$, auf der sich zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ der Massenpunkt ${\displaystyle m}$ bewege, darf eine Zwangskraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ keine tangentiale Komponente haben, sie muss, geometrisch betrachtet, senkrecht auf ${\displaystyle f(x,y,z)}$ stehen, damit ${\displaystyle m}$ sich auf der Kurve „frei“ (gleichförmig) bewegen kann bzw. darauf ruht:

${\displaystyle {\vec {F}}~=~\lambda \,\cdot \,\operatorname {grad} f,}$

wobei ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ einen vorläufig unbekannten („Lagrangeschen“) Parameter bezeichnet.

Äquivalent zu dieser Definition kann die Gesamtheit aller Zwangskräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}^{Z}}$ an miteinander gekoppelte Massensystem ${\displaystyle m_{i}}$ keine virtuelle Arbeit verrichten:

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{Z}\,\cdot \,\delta x_{i}=0}$.

Die mathematische Darstellung stammt aus der Statik nach Lagrange. Ihr liegt das statische Prinzip zugrunde, dass die Summe aller an ${\displaystyle m}$ eingeprägten Kräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}^{e}}$ mit der Systemreaktion ein Kräftegleichgewicht bilden muss:

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{e}\,+\,{\vec {F}}\,=\,0}$.

Beim Freischneiden des Elements ${\displaystyle m}$ aus seiner statischen Lage wird die Systemreaktion erst ersichtlich. Aus dem Grunde wird die Zwangskraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$, vor allem in älterer Literatur, auch „Reaktionskraft“ genannt.

Beispiele

• Auf einen Klotz, der auf einer ebenen Fläche steht, wirkt die Schwerkraft als eingeprägte Kraft. Da der Klotz offensichtlich ruht und sich nicht in Richtung des Erdmittelpunktes bewegt, übt die Fläche auf ihn eine Zwangskraft aus, die der Schwerkraft entgegengesetzt ist und diese genau ausgleicht (Wie diese Kraft physikalisch zustande kommt, ist für die Betrachtung im Rahmen der klassischen Mechanik unerheblich; hier genügt die Nebenbedingung, dass der Klotz nicht in die Fläche eintaucht.).
• Der Schlitten einer Achterbahn wird durch Zwangskräfte, die von den Schienen ausgeübt werden, auf seiner Bahn gehalten.
• Auf einen Pendelkörper, der an einem Faden hängt, wirkt eine Zwangskraft entlang des Fadens.

Allgemeine Eigenschaften

Kann sich ein Körper nur auf einer Kurve oder einer Fläche (frei) bewegen, so steht die Zwangskraft immer senkrecht auf dieser und damit auch auf der Bewegungsrichtung. Daraus folgt u. a., dass Zwangskräfte keine Arbeit verrichten können.

Das d’Alembertsche Prinzip zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen beruht auf dem Satz, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet; beim Jourdainschen Prinzip wird ausgenutzt, dass die virtuelle Leistung der Zwangskräfte verschwindet.

Literatur

• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40721-7. 
• Dietrich Stauffer: Theoretische Physik. 2. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-56604-X. 
• Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 1 - Statik. 11. Auflage. Springer, 2011, ISBN 978-3-540-68394-0. 

Einzelnachweise

1. ↑ Jörg Schröder: Statik. Springer, 2004, ISBN 3-540-22166-2, S. 8–9; books.google.de
2. ↑ Horst Czichos, Manfred Hennecke: Hütte: das Ingenieurwissen. Springer, 2004, ISBN 3-540-20325-7, S. E17; books.google.de
3. ↑ Ágoston Budó: Theoretische Mechanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976, S. 55; Textarchiv – Internet Archive.
4. ↑ Wolfgang Nolting: Analytische Mechanik. Grundkurs Theoretische Physik. Band 2. 7. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, S. 13 (1.2: D’Alembertsches Prinzip). Dort wird diese Erklärung als erstes Beispiel für den Satz der virtuellen Arbeit gebraucht, wohingegen die Definition 1.1.1 auf Seite 3 allgemein für jedes gebundene Massensystem aussagt: „Zwangskräfte sind Kräfte, die die Zwangsbedingungen bewirken, also die freie Teilchenbewegung behindern (z. B. Auflagekräfte, Fadenspannungen).“
5. ↑ J.- L. Lagrange: Mécanique Analytique. 3. Auflage. Mallet-Bachelier, Paris 1853. Statique, Section Première (Kap. IV §1 Méthode des Multiplicateurs), S. 69 f.; Textarchiv – Internet Archive
6. ↑ Historisch siehe auch: G. Hamel: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1967, S. 66.
7. ↑ G. Hamel: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1967, S. 66.
8. ↑ I. Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. 5. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 1961, S. 397.
9. ↑ Ágoston Budó: Theoretische Mechanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976, S. 66.