Sistema senario

El sistema senario (también conocido como base-6, heximal o seximal) es un sistema de numeración que tiene el número seis como base. Ha sido adoptado de forma independiente por un pequeño número de culturas. Al igual que el sistema de numeración decimal (en base 10), la base es un número semiprimo, aunque es única como el producto de los dos únicos números consecutivos que son primos (2 y 3). Como seis es un número altamente compuesto superior, muchos de los argumentos a favor del sistema sistema duodecimal también se aplican al sistema senario.

Definición formal

El conjunto estándar de dígitos en el sistema senario es ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}=\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace }$, disponiendo de un orden total ${\displaystyle 0<1<2<3<4<5}$. Sea ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}}$ la clausura de Kleene de ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}}$, donde ${\displaystyle ab}$ es la operación de concatenación para ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}^{*}}$. El sistema numérico senario para los números naturales ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ es la clase de equivalencia ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim }$ equipada con un orden lexicográfico por longitud, donde la clase de equivalencia ${\displaystyle \sim }$ es ${\displaystyle \lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace }$. Como ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ tiene un orden orden lexicográfico por longitud, es isomorfo para los números naturales ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Propiedades matemáticas

Al expresarse en base seis (sistema senario), todos los números primos, a excepción del 2 y el 3, tienen un 1 o un 5 como último dígito. En base seis, los números primos se escriben así:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (sucesión A004680 en OEIS)

Es decir, para todo número primo p mayor que 3, se cumplen las relaciones de aritmética modular tales que p ≡ 1 o 5 (mód 6) (lo que significa que 6 divide a p − 1 o a p − 5); el último dígito es un 1 o un 5. Esto se demuestra por reducción al absurdo.

Para cualquier número entero n:

• Si n ≡ 0 (mód 6), entonces 6 | n
• Si n ≡ 2 (mód 6), entonces 2 | n
• Si n ≡ 3 (mód 6), entonces 3 | n
• Si n ≡ 4 (mód 6), entonces 2 | n

Además, dado que los cuatro números primos más pequeños (2, 3, 5, 7) son divisores de 6 o números adyacentes a él, el sistema senario presenta reglas de divisibilidad sencillas para muchos números.

Además, todos los números pares perfectos, a excepción del 6, terminan en los dígitos 44 cuando se expresan en base seis (sistema senario). Esto se debe a que todo número perfecto par tiene la forma 2^{p – 1}(2^p – 1), donde 2^p − 1 es un número primo.

El sistema senario es, además, la mayor base numérica totativa r que no posee divisores propios —aparte del 1 y de r − 1—, lo que confiere a su tabla de multiplicar una gran regularidad y minimiza el esfuerzo necesario para memorizarla. Esta propiedad maximiza la probabilidad de que el producto de dos números enteros termine en cero, incluso cuando ninguno de los factores termina en cero.

• Si un número es divisible por 2, su último dígito en base seis es 0, 2 o 4.
• Si un número es divisible por 3, su último dígito en base seis es 0 o 3.
• Un número es divisible por 4 si su penúltimo dígito es impar y su último dígito es 2, o bien si su penúltimo dígito es par y su último dígito es 0 o 4.
• Un número es divisible por 5 si la suma de sus dígitos en base seis es divisible por 5 (equivalente a prueba del nueve en el sistema decimal).
• Si un número es divisible por 6, su último dígito es 0.
• Para determinar si un número es divisible por 7, se pueden sumar sus dígitos alternos y restar dichas sumas; si el resultado es divisible por 7, entonces el número original también lo es. Este procedimiento es análogo a la regla de divisibilidad por 11 en el sistema decimal.

Fracciones

Dado que el seis es el producto de los dos primeros números primos y se encuentra junto a los dos números primos siguientes, muchas fracciones en base seis poseen representaciones sencillas. La tabla a continuación muestra representaciones fraccionarias y posicionales tanto en el sistema decimal como en el senario; algunas celdas están coloreadas para indicar un cierto nivel de complejidad: aquellas marcadas con gris claro representan números racionales con un ciclo periódico de longitud uno o dos; las marcadas con gris oscuro indican un ciclo periódico de más de dos dígitos; y las celdas blancas (sin color) señalan la ausencia de un ciclo periódico.

Conteo con los dedos

34_senario= 22_decimal, en el conteo con los dedos en base seis

Se puede considerar que una mano humana estándar presenta seis posiciones claramente diferenciables: el puño cerrado, un dedo extendido, dos, tres, cuatro y, finalmente, los cinco dedos extendidos.

Si se utiliza la mano derecha para representar las unidades (de 0 a 5) y la mano izquierda para representar los múltiplos de 6, es posible expresar con los dedos valores desde cero hasta 55_senary (35_decimal), superando el límite habitual de diez que se obtiene al contar con los dedos de forma convencional. Por ejemplo, si se extienden tres dedos en la mano izquierda y cuatro en la derecha, se representa el valor 34_senary. Esto equivale a 3 × 6 + 4, lo que resulta en 22_decimal.

Además, este método constituye la forma menos abstracta de contar con ambas manos que refleja el concepto de notación posicional, ya que la transición de una posición a la siguiente implica pasar de una mano a la otra. Si bien la mayoría de las culturas desarrolladas cuentan con los dedos hasta el 5 de maneras muy similares, a partir de ese número, las culturas no occidentales suelen apartarse de los métodos occidentales, como ocurre en el caso de los gestos numéricos chinos. Dado que el conteo senario con los dedos también diverge del estándar únicamente a partir del 5, este método compite en sencillez con las técnicas de conteo tradicionales, un hecho que podría tener implicaciones relevantes para la enseñanza de la notación posicional a estudiantes jóvenes.

La elección de qué mano utilizar para las seisenas y cuál para las unidades depende de la preferencia de la persona que realiza el conteo. Sin embargo, desde la perspectiva de quien realiza el conteo, utilizar la mano izquierda para representar el dígito de mayor valor se corresponde con la representación escrita de ese mismo número en base seis (sistema senario). Girar la mano que representa las seisenas para mostrar su dorso puede ayudar a distinguir con mayor claridad qué mano representa las seisenas y cuál representa las unidades. No obstante, un inconveniente del conteo en base seis es que, sin un acuerdo previo, dos personas no podrían emplear este sistema, al no tener claro qué mano representa las seisenas y cuál las unidades. Por el contrario, en el conteo decimal —donde los números superiores a 5 se expresan mediante la palma abierta acompañada de otros dedos extendidos—, unario la otra persona solo necesita contar el número de dedos que se muestran extendidos.

En el baloncesto universitario, los números de las camisetas de los jugadores se limitan a números en base seis de, como máximo, dos dígitos, de modo que los árbitros puedan indicar qué jugador ha cometido una infracción utilizando este sistema de conteo con los dedos.

Otros sistemas más abstractos de contar con los dedos, como el chisanbop o el sistema binario con los dedos, permiten contar hasta 99, 1023 o incluso más, dependiendo del método (aunque no sean necesariamente de base seis). El monje e historiador inglés Beda describió, en el primer capítulo de su obra De temporum ratione (725) —titulado "Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum"—, un sistema que permitía contar hasta 9999 utilizando ambas manos.

Lenguas naturales

A pesar de que son pocas las culturas que agrupan grandes cantidades en base seis, el análisis del desarrollo de los sistemas numéricos sugiere la existencia de un umbral de percepción numérica natural en torno al 6, que podría conceptualizarse como un todo, un puño o más allá de los cinco dedos. En estos casos, los números del 1 al 6 suelen ser formas primigenias, mientras que los valores superiores se construyen a partir de ellos o se toman prestados de otras lenguas.

Se ha documentado que la lengua ndom, perteneciente a Nueva Guinea Occidental e Indonesia, emplea numerales en base seis. Así, mer significa 6; mer an thef equivale a 6 × 2 = 12; nif significa 36; y nif thef equivale a 36 × 2 = 72.

Otro ejemplo, proveniente de Papúa Nueva Guinea, se encuentra en las lenguas del Morehead y del alto Maro. En estos idiomas, el acto de contar está vinculado a un procedimiento ritualizado de recuento de ñames. Estos idiomas cuentan a partir de una base seis⁶, empleando términos para las potencias de seis; en algunos casos, llegan hasta valores elevados. Un ejemplo es la lengua kómnzo, que utiliza los siguientes numerales: nibo (6¹), fta (6² [36]), taruba (6³ [216]), damno (6⁴ [1296]), wärämäkä (6⁵ [7776]) y wi (6⁶ [46656]).

Se ha documentado que algunas lenguas nigerocongolesas emplean un sistema de numeración senario, generalmente de forma complementaria a otro sistema, como el sistema de numeración decimal o el sistema vigesimal.

También se ha planteado la hipótesis de que el idioma protourálico pudo haber contado con numerales en base seis (incorporando posteriormente un término para el número 7). Sin embargo, la evidencia de que los numerales mayores (8 y 9) se formaban mediante un método sustractivo a partir del diez sugiere que esto podría no ser así.

La base 36 como compresión de la base 6 (senaria)

Para ciertos fines, la base 6 (senaria) puede resultar demasiado pequeña para ser práctica. Esto puede solventarse utilizando su cuadrado, la base 36 (hexatrigesimal), ya que la conversión se facilita simplemente realizando las siguientes sustituciones:

Así, el número en base 36 WIKI₃₆ equivale al número en base 6 52303230₆. En sistema decimal, su valor es 1.517.058.

La elección de 36 como base numérica resulta conveniente, ya que los dígitos pueden representarse utilizando los números arábigos del 0 al 9 y las letras del alfabeto latino de la A a la Z. Esta elección constituye la base del esquema de codificación en base 36. El efecto de compresión que supone que 36 sea el cuadrado de 6 hace que muchos patrones y representaciones sean más cortos en base 36:

1/9₁₀ = 0.04₆ = 0.4₃₆

1/16₁₀ = 0.0213₆ = 0.29₃₆

1/5₁₀ = 0. 1₆ = 0. 7₃₆

1/7₁₀ = 0. 05₆ = 0. 5₃₆

En la ficción

La especie alienígena conocida como los eridianos de la novela de ciencia ficción Proyecto Hail Mary de Andy Weir, utiliza un sistema de numeración senario porque emplean 6 dedos para contar.

Véase también

• Método diceware para codificar valores en base 6 en contraseñas pronunciables.
• Esquema de codificación en base 36
• ADFGVX para cifrar texto convirtiéndolo en una serie de dígitos que, en la práctica, son senarios.

Referencias

Enlaces externos

• Recurso integral sobre la base seis
• Dialéctica sobre la base seis de Shack
• Conversión a base senaria
• Conversor de bases numéricas (Sooeet)
• Calculadora
• Calendarios, tiempo y fechas en base senaria