Condiciones de Rankine-Hugoniot

Las condiciones de Rankine-Hugoniot, también denominadas condiciones de salto de Rankine-Hugoniot o relaciones de Rankine-Hugoniot, describen la relación entre los estados a ambos lados de una onda de choque o una onda de combustión (deflagración o detonación) en un flujo unidimensional en fluidos o una deformación unidimensional en sólidos. Reciben su nombre en reconocimiento al trabajo realizado por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine y el ingeniero francés Pierre Henri Hugoniot.

La idea básica de las condiciones de salto es considerar lo que le sucede a un fluido cuando sufre un cambio rápido. Consideremos, por ejemplo, el caso de introducir un pistón en un tubo lleno de gas no reactivo. La perturbación se propaga a través del fluido a una velocidad algo superior a la velocidad del sonido. Dado que la perturbación se propaga supersónicamente, se trata de una onda de choque, y el fluido situado aguas abajo de la onda de choque no tiene información previa sobre ella. En un marco de referencia que se mueve con la onda, los átomos o moléculas situados delante de la onda chocan contra ella de forma supersónica. A nivel microscópico, sufren colisiones a escala de la longitud de la trayectoria libre media hasta que se detienen en el flujo posterior al choque (pero moviéndose en el marco de referencia de la onda o del tubo). La transferencia masiva de energía cinética calienta el flujo posterior al choque. Dado que se supone que la longitud media del recorrido libre es insignificante en comparación con todas las demás escalas de longitud en un tratamiento hidrodinámico, el frente de choque es esencialmente una discontinuidad hidrodinámica. Las condiciones de salto establecen entonces la transición entre el flujo previo y posterior al choque, basándose únicamente en la conservación de la masa, el momento y la energía. Las condiciones son correctas aunque el choque tenga realmente un espesor positivo. Este ejemplo no reactivo de una onda de choque también se generaliza a los flujos reactivos, en los que un frente de combustión (ya sea una detonación o una deflagración) puede modelarse como una discontinuidad en una primera aproximación.

Ecuaciones determinantes

En un sistema de coordenadas que se mueve con la discontinuidad, las condiciones de Rankine-Hugoniot pueden expresarse como:

$\rho _{1}\,u_{1}=\rho _{2}\,u_{2}\equiv m$	Conservación de masas
$\rho _{1}\,u_{1}^{2}+p_{1}=\rho _{2}\,u_{2}^{2}+p_{2}$	Conservación de momentos
$h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}$	Conservación de la energía

donde «m» es el caudal másico por unidad de superficie, «ρ»₁ y «ρ»₂ son la densidad másica del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, «u»₁ y «u»₂ son la velocidad del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, «p»1 y «p»2 son las presiones en las dos regiones, y «h»1 y «h»2 son las entalpías «específicas» (en el sentido de «por unidad de masa») en las dos regiones. Si, además, el flujo es reactivo, las ecuaciones de conservación de especies exigen que

$\omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,\dots ,N,\qquad {\text{Conservación de especies}}$

desaparezca tanto aguas arriba como aguas abajo de la discontinuidad. Aquí, $\omega$ es la tasa de producción de masa de la especie «i» de las «N» especies totales que participan en la reacción.

Combinando la conservación de la masa y el momento, se obtiene

${\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}$

que define una línea recta conocida como la «línea de Michelson-Rayleigh», llamada así en honor al físico ruso Vladimir A. Mikhelson (normalmente anglicanizado como Michelson) y Lord Rayleigh, que tiene una pendiente negativa (ya que $m^{2}$ siempre es positivo) en el plano $p-\rho ^{-1}$ . Utilizando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot para la conservación de la masa y el momento para eliminar “'u”'₁ y “'u”'₂, la ecuación para la conservación de la energía se puede expresar como la ecuación de Hugoniot: $h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).$

La inversa de la densidad también se puede expresar como el volumen específico, $v=1/\rho$ . Junto con esto, hay que especificar la relación entre la ecuación de estado aguas arriba y aguas abajo $f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})$ donde $Y_{i}$ es la fracción de masa de la especie. Por último, se supone que se conoce la ecuación de estado calorífica $h=h(p,\rho ,Y_{i})$ , es decir, $h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).$

Relaciones simplificadas de Rankine-Hugoniot

Fuente:

Se hacen las siguientes suposiciones para simplificar las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Se supone que la mezcla obedece a la ley de los gases ideales, de modo que la relación entre la ecuación de estado aguas abajo y aguas arriba se puede escribir como

${\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}$

donde $R$ es la constante universal de los gases y se supone que el peso molecular medio ${\overline {W}}$ es constante (de lo contrario, ${\overline {W}}$ dependería de la fracción de masa de todas las especies). Si se supone que el calor específico a presión constante $c_{p}$ también es constante a lo largo de la onda, el cambio en las entalpías (ecuación de estado calorífica) se puede escribir simplemente como $h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})$

donde el primer término de la expresión anterior representa la cantidad de calor liberado por unidad de masa de la mezcla aguas arriba por la onda y el segundo término representa el calentamiento sensible. Eliminando la temperatura mediante la ecuación de estado y sustituyendo la expresión anterior para el cambio en las entalpías en la ecuación de Hugoniot, se obtiene una ecuación de Hugoniot expresada solo en términos de presión y densidades,

$\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,$

donde $\gamma$ es la relación de calor específico, que para el aire a temperatura ambiente normal (298 KELVIN) = 1,40. Una curva de Hugoniot sin liberación de calor ( $q=0$ ) se denomina a menudo «Hugoniot de choque» o, simplemente, «Hugoniot». Junto con la ecuación de la línea de Rayleigh, la ecuación anterior determina completamente el estado del sistema. Estas dos ecuaciones se pueden escribir de forma compacta introduciendo las siguientes escalas adimensionales:

${\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.$

La ecuación de la línea de Rayleigh y la ecuación de Hugoniot se simplifican entonces a

${\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}$

Dadas las condiciones aguas arriba, la intersección de las dos ecuaciones anteriores en el plano ${\tilde {v}}$ - ${\tilde {p}}$ determina las condiciones aguas abajo; en el plano ${\tilde {v}}$ - ${\tilde {p}}$ , la condición aguas arriba corresponde al punto $({\tilde {v}},{\tilde {p}})=(1,1)$ . Si no se produce liberación de calor, por ejemplo, ondas de choque sin reacción química, entonces $\alpha =0$ . Las curvas de Hugoniot son asintóticas a las líneas ${\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)$ y ${\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)$ , que se representan como líneas discontinuas en la figura. Como se menciona en la figura, solo se permite la región blanca delimitada por estas dos asíntotas, de modo que $\mu$ sea positivo. Las ondas de choque y las detonaciones corresponden a la región blanca superior izquierda, en la que ${\tilde {p}}>1$ y ${\tilde {v}}<1$ , es decir, la presión aumenta y el volumen específico disminuye a lo largo de la onda (la condición de Chapman-Jouguet para la detonación es aquella en la que la línea de Rayleigh es tangente a la curva de Hugoniot). Las deflagraciones, por otro lado, corresponden a la región blanca inferior derecha en la que ${\tilde {p}}<1$ y ${\tilde {v}}>1$ , es decir, la presión disminuye y el volumen específico aumenta a lo largo de la onda; la disminución de presión de una llama es normalmente muy pequeña, por lo que rara vez se tiene en cuenta al estudiar las deflagraciones.

En el caso de las ondas de choque y las detonaciones, el aumento de presión a lo largo de la onda puede tomar cualquier valor entre $0\leq {\tilde {p}}<\infty$ ; cuanto más pronunciada es la pendiente de la línea de Rayleigh, más fuerte es la onda. Por el contrario, aquí la relación de volumen específico está restringida al intervalo finito $(\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)$ (el límite superior se deriva para el caso ${\tilde {p}}\rightarrow 0$ porque la presión no puede tomar valores negativos). Si $\gamma =1,4$ (gas diatómico sin excitación del modo vibratorio), el intervalo es $1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6$ , es decir, la onda de choque puede aumentar la densidad como máximo en un factor de 6. Para gas monoatómico, $\gamma =5/3$ , el intervalo permitido es $1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4$ . Para gases diatómicos con modo vibratorio excitado, tenemos $\gamma =9/7$ , lo que da lugar al intervalo $1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8$ . En realidad, la relación de calor específico no es constante en la onda de choque debido a la disociación molecular y la ionización, pero incluso en estos casos, la relación de densidad en general no supera un factor de aproximadamente 11-13.

Derivación de las ecuaciones de Euler

Consideremos un gas en un recipiente unidimensional (por ejemplo, un tubo largo y delgado). Supongamos que el fluido es no viscoso (es decir, que no muestra efectos de viscosidad, como por ejemplo la fricción con las paredes del tubo). Además, supongamos que no hay transferencia de calor por conducción o radiación y que la aceleración gravitacional puede ignorarse. Dicho sistema puede describirse mediante el siguiente sistema de leyes de conservación, conocido como ecuaciones de Euler unidimensionales, que en forma de conservación es:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\;=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u\right)$

(1)

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u)\,=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u^{2}+p\right)$

(2)

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{t}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(E^{t}+p\right)\right],$

(3)

donde

$\rho ,$ densidad del fluido,
$u,$ velocidad del fluido,
$e,$ energía interna específica del fluido,
$p,$ presión del fluido, y
$E^{t}=\rho e+\rho {\tfrac {1}{2}}u^{2},$ es la densidad de energía total del fluido, [J/m³], mientras que e es su energía interna específica

Supongamos además que el gas es calóricamente ideal y que, por lo tanto, una ecuación de estado politrópica de la forma simple

$p=\left(\gamma -1\right)\rho e,$

(4)

, donde $\gamma$ es la relación constante de los calores específicos $c_{p}/c_{v}$ . Esta cantidad también aparece como el «exponente politrópico» del proceso politrópico descrito por

${\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\text{constante}}.$

(5)

Para obtener una lista exhaustiva de ecuaciones de flujo compresible, etc., consulte el informe 1135 (1953) del NACA.

Nota: Para un gas ideal desde el punto de vista calórico, $\gamma$ es una constante, y para un gas ideal desde el punto de vista térmico, $\gamma$ es una función de la temperatura. En este último caso, la dependencia de la presión con respecto a la densidad de masa y la energía interna puede diferir de la que se da en la ecuación (4).

La condición de salto

Antes de continuar, es necesario introducir el concepto de «condición de salto», una condición que se mantiene en una discontinuidad o cambio brusco.

Consideremos una situación unidimensional en la que hay un salto en la cantidad física conservada escalar $w$ , que se rige por la ley de conservación integral

${\frac {d}{dt}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}w\,dx=-f(w){\Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}$

(6)

para cualquier $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{1}<x_{2}$ y, por lo tanto, por la ecuación diferencial parcial

${\frac {\partial w}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)=0$

(6')

para soluciones suaves.

Supongamos que la solución presenta un salto (o choque) en $x=x_{s}(t)$ , donde $x_{1}<x_{s}(t)$ y $x_{s}(t)<x_{2}$ , entonces

${\frac {d}{dt}}\left[\left(\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w\,dx\right)\right]=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)\,dx$

(7)

$\therefore w_{1}{\frac {dx_{s}}{dt}}-w_{2}{\frac {dx_{s}}{dt}}+\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w_{t}\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w_{t}\,dx=-f(w){\Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}$

(8)

Los subíndices 1 y 2 indican las condiciones «justo antes» y «justo después» del salto, respectivamente, es decir ${\textstyle w_{1}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$ y ${\textstyle w_{2}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$ . $\therefore$ es el signo de por lo tanto.

Tenga en cuenta que, para llegar a la ecuación (8), hemos utilizado el hecho de que $dx_{1}/dt=0$ y $dx_{2}/dt=0$ .

Ahora, sea $x_{1}\to x_{s}(t)-\epsilon$ y $x_{2}\to x_{s}(t)+\epsilon$ , cuando tenemos ${\textstyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\to 0}$ y ${\textstyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\to 0}$ , y en el límite

$u_{s}\left(w_{1}-w_{2}\right)=f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right),$

(9)

donde hemos definido $u_{s}=dx_{s}(t)/dt$ (la «característica» del sistema o «velocidad de choque»), que mediante una simple división viene dada por

$u_{s}={\frac {f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right)}{w_{1}-w_{2}}}.$

(10)

La ecuación (9) representa la condición de salto para la ley de conservación (6). Una situación de choque surge en un sistema en el que sus «características» se cruzan, y en estas condiciones, un requisito para una solución única y unívoca es que la solución satisfaga la «condición de admisibilidad» o la «condición de entropía». Para aplicaciones físicamente reales, esto significa que la solución debe satisfacer la «condición de entropía laxa»

$f'\left(w_{2}\right)>u_{s}>f'\left(w_{1}\right),$

(11)

donde $f'\left(w_{1}\right)$ y $f'\left(w_{2}\right)$ representan las «velocidades características» en las condiciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente.

Condición de choque

En el caso de la ley de conservación hiperbólica (6), véase que la velocidad de choque se puede obtener mediante una simple división. Sin embargo, para las ecuaciones de Euler 1D (1), (2) y (3), tenemos la variable de estado vectorial ${\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$ y las condiciones de salto se convierten en

$u_{s}\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)=\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}$

(12)

$u_{s}\left(\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}\right)=\left(\rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}\right)-\left(\rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}\right)$

(13)

$u_{s}\left(E_{2}-E_{1}\right)=\left[\rho _{2}u_{2}\left(e_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\right]-\left[\rho _{1}u_{1}\left(e_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\right].$

(14)

Las ecuaciones (12), (13) y (14) se conocen como las «condiciones de Rankine-Hugoniot» para las ecuaciones de Euler y se derivan aplicando las leyes de conservación en forma integral sobre un volumen de control que incluye el choque. En esta situación, $u_{s}$ no se puede obtener mediante una simple división. Sin embargo, se puede demostrar transformando el problema a un sistema de coordenadas en movimiento (estableciendo $u_{s}':=u_{s}-u_{1}$ , $u'_{1}:=0$ , $u'_{2}:=u_{2}-u_{1}$ para eliminar $u_{1}$ ) y mediante algunas manipulaciones algebraicas (que implican la eliminación de $u'_{2}$ de la ecuación transformada (13) utilizando la ecuación transformada (12)), que la velocidad del choque viene dada por

$u_{s}=u_{1}+c_{1}{\sqrt {1+{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}-1\right)}},$

(15)

donde ${\textstyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$ es la velocidad del sonido en el fluido en condiciones aguas arriba.

Línea de Hugoniot y Rayleigh en sólidos

Para los choques en sólidos, no se puede derivar una expresión de forma cerrada, como la ecuación (15), a partir de los principios fundamentales. En su lugar, se utilizan observaciones experimentales indican que existe una relación lineal (denominada Hugoniot de choque en el plano «u»_s-«u»_p) que tiene la forma

$u_{s}=c_{0}+s\,u_{p}=c_{0}+s\,u_{2}$

(16)

donde «c»₀ es la velocidad del sonido en el material (en compresión uniaxial), «s» es un parámetro (la pendiente de la onda de choque Hugoniot) obtenido a partir de ajustes a datos experimentales, y «u»_p = «u»₂ es la velocidad de las partículas dentro de la región comprimida detrás del frente de choque.

Hugoniots de choque para algunos materiales
Material	Símbolo	ρ (kg/m³)	c₀ (m/s)	s	Rango de presión medido (kbar)
Plata	Ag	10490	3270	1.55	200-1500
Oro	Au	19240	3070	1.54	255-1900
Cobre	Cu	8920	3910	1.51	80-3700

La relación anterior, cuando se combina con las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa y el momento, se puede utilizar para determinar el choque de Hugoniot en el plano «p-v», donde «v» es el volumen específico (por unidad de masa):

$p_{2}-p_{1}={\frac {c_{0}^{2}\,\rho _{1}\,\rho _{2}\,\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)}{\left[\rho _{2}-s\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)\right]^{2}}}={\frac {c_{0}^{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)}{\left[v_{1}-s\left(v_{1}-v_{2}\right)\right]^{2}}}\,.$

(17)

También se pueden utilizar ecuaciones de estado alternativas, como la ecuación de estado de Mie-Grüneisen, en lugar de la ecuación anterior.

El choque Hugoniot describe el lugar geométrico de todos los posibles estados termodinámicos en los que puede existir un material detrás de un choque, proyectado en un plano bidimensional de estado-estado. Por lo tanto, es un conjunto de estados de equilibrio y no representa específicamente la trayectoria a través de la cual un material sufre una transformación.

Los choques débiles son isentrópicos y la isentrópica representa la trayectoria a través de la cual el material es cargado desde el estado inicial al final por una onda de compresión con características convergentes. En el caso de choques débiles, el Hugoniot caerá directamente sobre la isentrópica y podrá utilizarse directamente como trayectoria equivalente. En el caso de un choque fuerte, ya no podemos hacer esa simplificación directamente. Sin embargo, para los cálculos de ingeniería, se considera que la isentrópica está lo suficientemente cerca de la Hugoniot como para poder hacer la misma suposición.

Si la Hugoniot es aproximadamente la trayectoria de carga entre estados para una onda de compresión «equivalente», entonces las condiciones de salto para la trayectoria de carga del choque pueden determinarse trazando una línea recta entre los estados inicial y final. Esta línea se denomina línea de Rayleigh y tiene la siguiente ecuación:

$p_{2}-p_{1}=u_{s}^{2}\left(\rho _{1}-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}}}\right)$

(18)

Límite elástico de Hugoniot

La mayoría de los materiales sólidos sufren deformaciones plásticas cuando se someten a fuertes impactos. El punto en el choque Hugoniot en el que un material pasa de un estado puramente elástico a un estado elástico-plástico se denomina límite elástico de Hugoniot (HEL) y la presión a la que se produce esta transición se denota p_HEL. Los valores de p_HEL pueden oscilar entre 0,2 GPa y 20 GPa. Por encima del HEL, el material pierde gran parte de su resistencia al cizallamiento y comienza a comportarse como un fluido.

Magnetohidrodinámica

Véase también: Choques y discontinuidades (magnetohidrodinámica)

Referencias

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↑
↑ Obsérvese que la ley de conservación integral (6) no podría obtenerse, en general, a partir de la ecuación diferencial (6') mediante integración sobre $[x_{1};x_{2}]$ , ya que (6') solo se cumple para soluciones suaves.
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↑ Aunque se suele asumir que existe una relación lineal, los datos experimentales sugieren que casi el 80 % de los materiales probados no satisfacen este comportamiento lineal ampliamente aceptado. Véase Kerley, G. I, 2006, «The Linear US-uP Relation in Shock-Wave Physics», arΧiv:1306.6916; para más detalles.
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Datos: Q1192131

[[Ran-70]-1] Rankine, W. J. M. (1870). bpt6k559658/f328.image.r=Philosophical+Transactions+of+the+Royal+Society+of+London+1870.langEN «On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbances». Philosophical Transactions of the Royal Society of London 160: 277-288. doi:10.1098/rstl.1870.0015.

[[Hug-87]-2] Hugoniot, H. (1887). «Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (première partie) [Memoria sobre la propagación de los movimientos en los cuerpos, especialmente en los gases perfectos (primera parte)]». Journal de l'École Polytechnique (en francés) 57: 3-97. Véase también: Hugoniot, H. (1889) «Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)» [Memoria sobre la propagación de los movimientos en los cuerpos, especialmente en los gases perfectos (segunda parte)], “'Journal de l'École Polytechnique”', vol. 58, páginas 1-125.

[[Sal-06]-3] Salas, M. D. (2006). «The Curious Events Leading to the Theory of Shock Waves, Conferencia invitada, «17th Shock Interaction Symposium», Roma, 4-8 de septiembre.».

[Williams2018-4] 1 2 Williams, F. A. (2018). Combustion theory. CRC Press.

[5] Mikhelson, V.A. (1893). «La velocidad normal de ignición de mezclas gaseosas combustibles». Transacciones de la Universidad de Moscú 10: 1-92.

[6] Zel’Dovich, Y. B., & Raizer, Y. P. (2012). Física de las ondas de choque y los fenómenos hidrodinámicos a alta temperatura. Courier Corporation.

[[Ame-53]-7] ↑

[8] Obsérvese que la ley de conservación integral (6) no podría obtenerse, en general, a partir de la ecuación diferencial (6') mediante integración sobre $[x_{1};x_{2}]$ , ya que (6') solo se cumple para soluciones suaves.

[9] Liepmann, H. W., & Roshko, A. (1957). Elementos de dinámica de gases. Courier Corporation.

[10] Landau, L. D. (1959). EM Lifshitz, Mecánica de fluidos. Curso de física teórica, 6.

[11] Shapiro, A. H. (1953). La dinámica y la termodinámica del flujo de fluidos compresibles. John Wiley & Sons.

[12] Anderson, J. D. (1990). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (Vol. 12). Nueva York: McGraw-Hill.

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[14] Courant, R., y Friedrichs, K. O. (1999). Supersonic flow and shock waves (Vol. 21). Springer Science & Business Media.

[15] Ahrens, T.J. (1993), pdf «Equation of state», High Pressure Shock Compression of Solids, Eds. J. R. Asay y M. Shahinpoor (Springer-Verlag, Nueva York): 75-113, ISBN 978-1-4612-6943-4, doi:10.1007/978-1-4612-0911-9_4 .

[Kerley-16] Aunque se suele asumir que existe una relación lineal, los datos experimentales sugieren que casi el 80 % de los materiales probados no satisfacen este comportamiento lineal ampliamente aceptado. Véase Kerley, G. I, 2006, «The Linear US-uP Relation in Shock-Wave Physics», arΧiv:1306.6916; para más detalles.

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