«Congruencia»
redirige aquí. Para la congruencia vista desde el punto de la geometría elemental, véase
congruencia (geometría) .
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Congruencia es un término usado en la teoría de números , para designar que dos números enteros
a
y
b
{\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}
resto al dividirlos por un número natural
m
≠
0
{\displaystyle m\,\neq \,0}
módulo
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
que se expresa diciendo que:
a
{\displaystyle a\,}
es congruente con
b
{\displaystyle b\,}
m
{\displaystyle m\,}
a
y
b
{\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}
m
≠
0
{\displaystyle m\,\neq \,0}
:
m
{\displaystyle m\,}
divide exactamente a la diferencia de
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
m
∣
a
−
b
{\displaystyle m\mid a-b}
o lo que es lo mismo,
a
y
b
{\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}
m
{\displaystyle m\,}
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
m
{\displaystyle m\,}
m
∣
a
−
b
{\displaystyle m\mid a-b}
» (entonces),
m
k
=
a
−
b
{\displaystyle mk=a-b}
k
∈
Z
(
e
n
t
o
n
c
e
s
)
a
=
b
+
k
m
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} \quad (entonces)\ a=b+km}
identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo
p
{\displaystyle p\,}
a
{\displaystyle a\,}
p
{\displaystyle p\,}
congruencia :
a
p
−
1
≡
1
(
mod
p
)
.
{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación , donde aparecen una o más incógnitas , y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia
x
2
−
5
≡
0
(
mod
11
)
{\displaystyle x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}}
x
≡
4
(
mod
11
)
{\displaystyle x\equiv 4{\pmod {11}}}
x
≡
7
(
mod
11
)
{\displaystyle x\equiv 7{\pmod {11}}}
x
{\displaystyle x\,}
sucesiones
11
k
+
4
{\displaystyle 11k+4\,}
11
k
+
7
{\displaystyle 11k+7\,}
x
2
−
2
≡
0
(
mod
11
)
{\displaystyle x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}}
La notación y la relación de terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae divisibilidad , por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo , a ideales de anillos de números algebraicos , etc.
Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática , por citar alguna:
La congruencia para un módulo
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
b
≡
a
(
mod
m
)
{\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}}
transitividad
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
b
≡
c
(
mod
m
)
{\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}}
a
≡
c
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}}
Si
a
{\displaystyle a\,}
coprimo con
m
{\displaystyle m\,}
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
b
{\displaystyle b\,}
m
{\displaystyle m\,}
Si
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
k
{\displaystyle k\,}
a
±
k
≡
b
±
k
(
mod
m
)
{\displaystyle a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}}
k
a
≡
k
b
(
mod
m
)
{\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}
a
k
≡
b
k
(
mod
m
)
k
>
0
{\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0}
Si además
k
{\displaystyle k\,}
coprimo con
m
{\displaystyle m\,}
h
−
1
{\displaystyle h^{-1}\,}
k
h
−
1
≡
1
(
mod
m
)
{\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}
y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que
a
k
≡
b
k
(
mod
m
)
{\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}
donde por definición ponemos
a
/
k
=
a
k
−
1
{\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}
Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
c
≡
d
(
mod
m
)
{\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias
a
+
c
≡
b
+
d
(
mod
m
)
{\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}
a
c
≡
b
d
(
mod
m
)
{\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}
