Conjunto compacto aleatorio

En matemáticas, un conjunto compacto aleatorio es esencialmente una variable aleatoria con valores en un conjunto compacto. Los conjuntos compactos aleatorios son útiles en el estudio de atractores para sistemas dinámicos aleatorios.

Definición

Sea $(M,d)$ un espacio métrico separable completo. Denotamos por ${\mathcal {K}}$ el conjunto de todos los subconjuntos compactos de $M$ . La métrica de Hausdorff $h$ en ${\mathcal {K}}$ se define por:

h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.

$({\mathcal {K}},h)$ es también un espacio métrico completo separable. Los subconjuntos abiertos correspondientes generan una σ-álgebra sobre ${\mathcal {K}}$ , la σ-álgebra de Borel ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ de ${\mathcal {K}}$ .

Un conjunto compacto aleatorio es una función medible $K$ de un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ en $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$ .

Dicho de otro modo, un conjunto compacto aleatorio es una función medible $K\colon \Omega \to 2^{M}$ de tal manera que $K(\omega )$ es casi seguro compacto y:

\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)

es una función medible para cada $x\in M$ .

Discusión

Los conjuntos compactos aleatorios en este sentido también son conjuntos cerrados aleatorios como en Matheron (1975). En consecuencia, bajo el supuesto adicional de que el espacio portador es localmente compacto, su distribución viene dada por las probabilidades:

\mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )

para

K\in {\mathcal {K}}.

(La distribución de un conjunto convexo compacto aleatorio también viene dada por el sistema de todas las probabilidades de inclusión) $\mathbb {P} (X\subset K).$

Para $K=\{x\}$ , se obtiene la probabilidad $\mathbb {P} (x\in X)$ , la cual satisface:

\mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).

Por lo tanto, la función de cobertura $p_{X}$ está dada por:

p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)

para

x\in M.

Por supuesto, $p_{X}$ también puede interpretarse como la media de la función indicadora $\mathbf {1} _{X}$ :

p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).

La función de cobertura toma valores entre $0$ y $1$ . El conjunto $b_{X}$ de todos los $x\in M$ con $p_{X}(x)>0$ se denomina el soporte de $X$ . El conjunto $k_{X}$ de todos los $x\in M$ con $p_{X}(x)=1$ se denomina núcleo, conjunto de puntos fijos o mínimo esencial $e(X)$ . Si $X_{1},X_{2},\ldots$ es una secuencia de conjuntos compactos aleatorios i.i.d., entonces casi con seguridad:

\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)

y $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}$ converge casi con seguridad a $e(X).$

Ejemplos

Conjuntos compactos aleatorios en espacios euclidianos

En $\mathbb {R} ^{d}$ , un ejemplo común de conjunto compacto aleatorio es un disco aleatorio, donde el centro y el radio son variables aleatorias. Por ejemplo, si el centro $C$ sigue una distribución uniforme en un cuadrado y el radio $R$ sigue una distribución exponencial, entonces el conjunto $X={\overline {B(C,R)}}$ (la bola cerrada centrada en $C$ con radio $R$ ) es un conjunto compacto aleatorio.

Conjuntos compactos aleatorios como atractores

En la teoría de sistemas dinámicos aleatorios, los atractores aleatorios son típicamente conjuntos compactos aleatorios. Por ejemplo, para un sistema dinámico con ruido multiplicativo, el atractor aleatorio puede caracterizarse como un conjunto compacto aleatorio que satisface una propiedad de invariancia. La función de cobertura de dicho atractor proporciona información sobre la probabilidad de que los puntos del espacio de fases sean visitados por la trayectoria del sistema en el estado estacionario.

Propiedades

Continuidad de la función de cobertura

Si $X$ es un conjunto compacto aleatorio y $M$ es un espacio métrico separable, la función de cobertura $p_{X}(x)$ es semicontinua superior en $M$ . Esta propiedad es útil para el análisis de la regularidad de los conjuntos compactos aleatorios.

Convergencia de conjuntos compactos aleatorios

Se pueden definir diferentes nociones de convergencia para secuencias de conjuntos compactos aleatorios, como la convergencia en distribución y la convergencia en la métrica de Hausdorff casi segura. La convergencia en distribución se define a través de la convergencia débil de las medidas de probabilidad inducidas en $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$ .

Aplicaciones

Los conjuntos compactos aleatorios tienen aplicaciones en diversas áreas, incluyendo:

Análisis de imágenes — para modelar objetos aleatorios en imágenes digitales.
Geometría estocástica — para el estudio de patrones aleatorios en el espacio.
Sistemas dinámicos aleatorios — para describir atractores y conjuntos límite.
Procesos de punto — como herramientas auxiliares para definir medidas aleatorias.
Matemáticas financieras — para modelar conjuntos de precios o conjuntos de oportunidades de arbitraje.

Véase también

Referencias

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Bibliografía adicional

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Enlaces externos

Random Set – MathWorld (Wolfram Research)
Random set – Encyclopedia of Mathematics

Datos: Q4424101

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