Conjunto polar

Polar absoluto

Supóngase que ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ es un emparejamiento. El polar o polar absoluto de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es el conjunto:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K}$ :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

donde ${\displaystyle \langle A,y\rangle$ :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}} denota la imagen del conjunto ${\displaystyle A}$ bajo la aplicación ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ definida por ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ Si ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ denota el conjunto absolutamente convexo de ${\displaystyle A,}$ que, por definición, es el subconjunto de ${\displaystyle X}$ convexo y equilibrado más pequeño que contiene a ${\displaystyle A,}$ entonces ${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

Esta es una transformación afín de la definición geométrica, que tiene la útil caracterización de que el polar analítico funcional de la bola unitaria (en ${\displaystyle X}$) es precisamente la bola unitaria (en ${\displaystyle Y}$).

El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ es el conjunto:

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$

Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ también se denomina polar o polar absoluto de ${\displaystyle B}$ y se denota por ${\displaystyle B^{\circ }}$; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (de ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar".

El 'bipolar de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X,}$ a menudo denotado por ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ es el conjunto ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$; eso es,

${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$

Polar real

El polar real de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es el conjunto:

${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$

y el prepolar real de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ es el conjunto:

${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$

Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama "polar real" y también se denota por ${\displaystyle B^{r}.}$. Es importante señalar que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación ${\displaystyle A^{\circ }}$ para ello (en lugar de la notación ${\displaystyle A^{r}}$ que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]).

El bipolar real de un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X,}$ denotado a veces por ${\displaystyle A^{rr},}$ es el conjunto ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$; que es igual al cierre ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ de la envolvente convexa de ${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

Para un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ es convexo, ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ cerrado y contiene a ${\displaystyle A^{\circ }.}$ En general, es posible que ${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$, pero la igualdad se mantendrá si ${\displaystyle A}$ es equilibrado. Además, ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ donde ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ denota la envolvente equilibrada de ${\displaystyle A^{r}.}$

Definiciones posibles

La definición de "polar" de un conjunto no está universalmente aceptada. Aunque en este artículo se definió "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo un autor defina "polar", la notación ${\displaystyle A^{\circ }}$ casi siempre representa su elección de la definición (por lo que el significado de la notación ${\displaystyle A^{\circ }}$ puede variar de una fuente a otra). En particular, la polar de ${\displaystyle A}$ a veces se define como:

${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$

donde la notación es ${\displaystyle A^{|r|}}$ no es la notación estándar.

Ahora se discute brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.

Siempre se considera el caso de que

${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$

y si ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tiene un valor real (o de manera equivalente, si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son espacios vectoriales sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$), entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

Si ${\displaystyle A}$ es un conjunto simétrico (es decir, ${\displaystyle -A=A}$ o equivalentemente, ${\displaystyle -A\subseteq A}$), entonces ${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$, donde si además ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tiene un valor real, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

Si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son espacios vectoriales sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (de modo que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tiene valores complejos) y si ${\displaystyle iA\subseteq A}$ (donde debe tenerse en cuenta que esto implica ${\displaystyle -A=A}$ y ${\displaystyle iA=A}$), entonces

${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$

donde si además ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ para todos los ${\displaystyle r}$ reales, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de ${\displaystyle A}$ concuerden, es suficiente que ${\displaystyle sA\subseteq A}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unidad (donde esto es equivalente a que ${\displaystyle sA=A}$ para todos los escalares de longitud unitaria ${\displaystyle s}$). En particular, todas las definiciones del polar de ${\displaystyle A}$ coinciden cuando ${\displaystyle A}$ es un conjunto equilibrado (que suele ser el caso, pero no siempre), por lo que a menudo cuál de estas posibles definiciones se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones del "polar" de un conjunto ${\displaystyle A}$ a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando ${\displaystyle A}$ no está necesariamente equilibrado.

Especialización para la dualidad canónica

Espacio dual algebraico

Si ${\displaystyle X}$ es cualquier espacio vectorial, entonces ${\displaystyle X^{\#}}$ denota el espacio dual de ${\displaystyle X,}$ que es el conjunto de todos los funcionales lineales en ${\displaystyle X.}$ El espacio vectorial ${\displaystyle X^{\#}}$ es siempre un subconjunto cerrado del espacio ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ de todas las funciones valoradas en ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en ${\displaystyle X}$ bajo la topología de convergencia puntual. Entonces, cuando ${\displaystyle X^{\#}}$ está dotado de la topología subespacial, ${\displaystyle X^{\#}}$ se convierte en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo completo de Hausdorff. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X,}$ considérese que

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K}$ :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

Si ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ son subconjuntos, entonces ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$ y ${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$ donde ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ denota el conjunto absolutamente convexo de ${\displaystyle A.}$ Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X,}$ denótese por ${\displaystyle \tau _{Y}}$ la topología euclídea en ${\displaystyle Y,}$ que es la topología única que convierte a ${\displaystyle Y}$ en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff. Si ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finito} }}$ denota la unión de todas las clausuras, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ ya que ${\displaystyle Y}$ varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de ${\displaystyle X,}$ entonces ${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finito} }\right]^{\#}}$ (consúltese esta nota al pie para una explicación). Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X}$, entonces, según el teorema de Banach-Alaoglu, ${\displaystyle A^{\#}}$ es un subconjunto compacto *débil de ${\displaystyle X^{\#}.}$

Si ${\displaystyle A\subseteq X}$ es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ y si ${\displaystyle Y}$ es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en ${\displaystyle X}$ (es decir, un subespacio vectorial de espacios duales de ${\displaystyle X}$), entonces la aplicación de valores reales

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$      definido por      ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

es una seminorma en ${\displaystyle Y.}$ Si ${\displaystyle A=\varnothing }$ entonces, por definición de elemento supremo e ínfimo, ${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$ de modo que la aplicación ${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$ definido anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma.

Espacio dual continuo

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (EVT) con espacio dual ${\displaystyle X^{\prime }.}$ El caso especial importante donde ${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$ y los corchetes representan la aplicación canónica:

${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle$ :=x^{\prime }(x)}

se considera ahora. El triplete formado por ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ asociado con ${\displaystyle X}$ es el llamado emparejamiento canónico.

La polar de un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ con respecto a este emparejamiento canónico es:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ porque }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle$ :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

Para cualquier subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$ donde ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ denota la clausura de ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle X.}$

El teorema de Banach-Alaoglu establece que si ${\displaystyle A\subseteq X}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$ y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo ${\displaystyle X^{\prime }}$ cuando ${\displaystyle X^{\prime }}$ está dotado de topología *débil (también conocida como topología de convergencia puntual).

Si ${\displaystyle A}$ satisface ${\displaystyle sA\subseteq A}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ (el operador de parte real) de modo que:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$

El prepolar de un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y=X^{\prime }}$ es:

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$

Si ${\displaystyle B}$ satisface ${\displaystyle sB\subseteq B}$ para todos los escalares ${\displaystyle s}$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto con ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ de modo que:

${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$

donde ${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio normado y ${\displaystyle S}$ es la bola unitaria abierta o cerrada en ${\displaystyle X}$ (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta), entonces ${\displaystyle S^{\circ }}$ es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo ${\displaystyle X^{\prime }}$ cuando ${\displaystyle X^{\prime }}$ dotado de su norma dual canónica.