Conjunto radial

En matemáticas, un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ es radial en un punto dado ${\displaystyle a_{0}\in A}$ si para cada ${\displaystyle x\in X}$ existe un ${\displaystyle t_{x}>0}$ real tal que para cada ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$ Geométricamente, esto significa que ${\displaystyle A}$ es radial en ${\displaystyle a_{0}}$ si para cada ${\displaystyle x\in X,}$ hay algún segmento rectilíneo (no degenerado) (dependiente de ${\displaystyle x}$) que emana de ${\displaystyle a_{0}}$ en dirección a ${\displaystyle x}$ y que se encuentra completamente en ${\displaystyle A.}$.

Todo conjunto radial es un dominio en estrella, aunque no a la inversa.

Relación con el interior algebraico

Los puntos en los que un conjunto es radial se denominan puntos internos. El conjunto de todos los puntos en los que ${\displaystyle A\subseteq X}$ es radial es igual al interior algebraico.

Relación con los conjuntos absorbentes

Cada subconjunto absorbente es radial en el origen ${\displaystyle a_{0}=0,}$ y si el espacio vectorial es real, entonces también se cumple lo contrario. Es decir, un subconjunto de un espacio vectorial real es absorbente si y solo si es radial en el origen. Algunos autores utilizan el término radial como sinónimo de absorbente.

Véase también

• Conjunto absorbente
• Interior algebraico
• Funcional de Minkowski
• Dominio en estrella

Referencias

Bibliografía

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third edición). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.