Interior algebraico

En análisis funcional, una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior.

Definición

Supóngase que ${\displaystyle A}$ es un subconjunto de un espacio vectorial ${\displaystyle X.}$ El interior algebraico (o núcleo radial) de ${\displaystyle A}$ con respecto a ${\displaystyle X}$ es el conjunto de todos los puntos en los que ${\displaystyle A}$ es un conjunto radial. Un punto ${\displaystyle a_{0}\in A}$ se llama punto interno de ${\displaystyle A}$ y se dice que ${\displaystyle A}$ es radial desde ${\displaystyle a_{0}}$ si por cada ${\displaystyle x\in X}$ existe un número real ${\displaystyle t_{x}>0}$ tal que por cada ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$ Esta última condición también se puede escribir como ${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$ donde el conjunto

${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$

es el segmento rectilíneo (o intervalo cerrado) que comienza en ${\displaystyle a_{0}}$ y termina en ${\displaystyle a_{0}+t_{x}x}$. Este segmento es un subconjunto de ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$, que es el rayo que emana de ${\displaystyle a_{0}}$ en la dirección de ${\displaystyle x}$ (es decir, paralelo a/una traslación de ${\displaystyle [0,\infty )x}$).

Por lo tanto, geométricamente, un punto interior de un subconjunto ${\displaystyle A}$ es un punto ${\displaystyle a_{0}\in A}$ con la propiedad de que en cada dirección (vector) posible ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle A}$ contiene algún segmento rectilíneo (no degenerado) que comienza en ${\displaystyle a_{0}}$ y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$).

El interior algebraico de ${\displaystyle A}$ (con respecto a ${\displaystyle X}$) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado respecto del cual los puntos del conjunto son radiales.

Si ${\displaystyle M}$ es un subespacio lineal de ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle A\subseteq X}$, entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de ${\displaystyle A}$ con respecto a ${\displaystyle M}$ es:

${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ para todo }}m\in M,{\text{ existe algún }}t_{m}>0{\text{ tal que }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$

donde ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$ siempre se cumple y si ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$, entonces ${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),}$ donde ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)}$ es la envolvente afín de ${\displaystyle A-A}$ (que es igual a ${\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}$).

Cierre algebraico

Se dice que un punto ${\displaystyle x\in X}$ es linealmente accessible de un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ si existe algún ${\displaystyle a\in A}$ tal que el segmento rectilíneo ${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$ esté contenido en ${\displaystyle A.}$. El cierre algebraico de ${\displaystyle A}$ con respecto a ${\displaystyle X}$, indicado por ${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$, consta de ${\displaystyle A}$ y todos los puntos en ${\displaystyle X}$ a los que se puede acceder linealmente desde ${\displaystyle A.}$.

Interior algebraico (núcleo)

En el caso especial en el que ${\displaystyle M:=X,}$, el conjunto ${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$ se denomina interior algebraico o núcleo de ${\displaystyle A}$ y se denota por ${\displaystyle A^{i}}$ o ${\displaystyle \operatorname {\text{núcleo}} A.}$.

Formalmente, si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial, entonces el interior algebraico de ${\displaystyle A\subseteq X}$ es

${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {\text{núcleo}} (A):=\left\{a\in A:{\text{ para todo }}x\in X,{\text{ existe algún }}t_{x}>0,{\text{ tal que para todo }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$

Si ${\displaystyle A}$ no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu):

${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un conjunto cerrado,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {expan} (A-a){\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }}X{\text{ para cualquier/todo }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio de Fréchet, ${\displaystyle A}$ es convexo y ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$ está cerrado en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$ pero en general es posible tener ${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$ mientras ${\displaystyle {}^{ib}A}$ es no vacío.

Interior algebraico relativo

Si ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$, entonces el conjunto ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$ se denota por ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$ y se llama el interior algebraico relativo de ${\displaystyle A}$. Este nombre surge del hecho de que ${\displaystyle a\in A^{i}}$ si y solo si ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ y ${\displaystyle a\in {}^{i}A}$ (donde ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ si y solo si ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$).

Interior relativo

Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$, entonces el interior relativo de ${\displaystyle A}$ es el conjunto

${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$

Es decir, el interior topológico de A en ${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$ es el subespacio lineal afín más pequeño de ${\displaystyle X}$ que contiene a ${\displaystyle A.}$. El siguiente conjunto también es útil:

${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un subespacio cerrado de }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$

Interior cuasi relativo

Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$, entonces el interior cuasi relativo de ${\displaystyle A}$ es el conjunto

${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{es un subespacio lineal de }}X\right\}.}$

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff, ${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

Véase también

• Punto límite
• Interior (topología)
• Unidad de orden
• Interior cuasirrelativo
• Conjunto radial
• Interior relativo
• Teorema de Ursescu

Referencias

Bibliografía

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third edición). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874. 
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• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
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