Distribución triangular

Distribución triangular
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~a<b\,}$ ${\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{para }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{para }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{para }}b<x.\end{cases}}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{para }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{para }}b\leq x.\end{cases}}}$
Media	${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
Mediana	${\displaystyle {\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}$
Moda	${\displaystyle c}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
Curtosis	${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
Entropía	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
Función característica	${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
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En probabilidad y estadística, la distribución triangular es una familia de distribuciones continuas de probabilidad que tiene un valor mínimo a, un valor máximo b y una moda c, de modo que la función de densidad de probabilidad es cero para los extremos (a y b), y afín entre cada extremo y la moda, por lo que su gráfico es un triángulo.

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Historia

1757 … Simpson discutió varias posibles distribuciones de error. Lo primero que consideró fue la distribución uniforme, seguida por la distribución triangular continua simétrica

Densidad

La función densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x|a,b,c)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{para }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{para otros casos}}\end{cases}}}$

Características de la distribución

• Parámetros: ${\displaystyle a\colon a\in (-\infty ,\infty )}$
  ${\displaystyle b\colon b>a}$
  ${\displaystyle c\colon a\leq c\leq b}$
• Soporte: ${\displaystyle a\leq x\leq b}$
• Función de probabilidad acumulada: =${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{para }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{para }}b\leq x.\end{cases}}}$
• Media: ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
• Mediana: ${\displaystyle {\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\geq {\frac {a+b}{2}}\\[4pt]b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\leq {\frac {a+b}{2}}\end{cases}}}$
• Moda: ${\displaystyle c}$
• Varianza: ${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
• Restricciones: ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
• Curtosis: ${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
• Entropía: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
• Función generadora de momentos: ${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
• Función característica: ${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$

Uso de la distribución triangular

La distribución triangular es habitualmente empleada como una descripción subjetiva de una población para la que sólo se cuenta con una cantidad limitada de datos muestrales y, especialmente en casos en que la relación entre variables es conocida pero los datos son escasos (posiblemente porque es alto el costo de recolectarlos). Está basada en un conocimiento del mínimo y el máximo y un "pálpito inspirado" como el del valor modal. Por estos motivos, la Distribución Triangular ha sido denominada como la de "falta de precisión" o de información.

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Triangular Distribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Triangular Distribution  , brighton-webs.co.uk