Forma alfa

En geometría computacional, una forma alfa, o forma α, es una familia de curvas simples lineales a trozos definidas en un plano asociadas a la forma de un conjunto finito de puntos. Fueron definidas por primera vez por Edelsbrunner, Kirkpatrick y Seidel (1983). La forma alfa asociada a un conjunto de puntos es una generalización del concepto de envolvente convexa, es decir, toda envolvente convexa es una forma alfa, pero no toda forma alfa es una envolvente convexa.

Caracterización

Para cada número real ${\displaystyle \alpha }$, se define el concepto de disco generalizado de radio ${\displaystyle 1/\alpha }$ de la siguiente manera:

• Si ${\displaystyle \alpha =0}$, es un semiplano cerrado;
• Si ${\displaystyle \alpha >0}$, es un disco cerrado de radio ${\displaystyle 1/\alpha }$;
• Si ${\displaystyle \alpha <0}$, es la clausura del complemento de un disco de radio ${\displaystyle -1/\alpha }$.

Entonces, se traza una arista de la forma alfa entre dos miembros del conjunto finito de puntos siempre que exista un disco generalizado de radio ${\displaystyle 1/\alpha }$ que contenga los dos puntos en su frontera y que no contenga ningún elemento del conjunto de puntos en su interior.

Si ${\displaystyle \alpha =0}$, entonces la forma alfa asociada al conjunto finito de puntos es su envolvente convexa ordinaria.

Complejo alfa

Las formas alfa están estrechamente relacionadas con los complejos alfa, que son subcomplejos de la triangulación de Delaunay del conjunto de puntos. Cada arista o triángulo de la triangulación de Delaunay puede asociarse con un radio característico: el radio del círculo vacío más pequeño que contiene dicha arista o triángulo. Para cada número real ${\displaystyle \alpha }$, el complejo ${\displaystyle \alpha }$ del conjunto de puntos dado es el complejo simplicial formado por el conjunto de aristas y triángulos cuyos radios son como máximo ${\displaystyle 1/\alpha }$.

El complejo ${\displaystyle \alpha }$ también es un subcomplejo del complejo de Čech, pero computacionalmente más eficiente si el espacio de los datos tiene dimensión 2 o 3.

La unión de las aristas y triángulos en el complejo ${\displaystyle \alpha }$ forma una figura muy similar a la figura ${\displaystyle \alpha }$. Sin embargo, se diferencia en que tiene aristas poligonales en lugar de aristas formadas por arcos de circunferencia. Más específicamente, Edelsbrunner (1995) demostró que las dos formas son homotópicas (en este trabajo posterior, Edelsbrunner utilizó el nombre "forma ${\displaystyle \alpha }$" para referirse a la unión de las celdas en el complejo ${\displaystyle \alpha }$, y en su lugar denominó a la forma curvilínea relacionada un cuerpo ${\displaystyle \alpha }$).

Ejemplos

Esta técnica puede emplearse para reconstruir una superficie de Fermi a partir de la función de densidad espectral electrónica de Bloch evaluada en el nivel de Fermi, tal como se obtiene de la función de Green en un estudio ab initio generalizado del problema. La superficie de Fermi se define entonces como el conjunto de puntos del espacio recíproco dentro de la primera zona de Brillouin, donde la señal es máxima.

La definición tiene la ventaja de abarcar también casos de diversas formas de desorden.

Véase también

• Esqueleto beta

Referencias

Bibliografía

• N. Akkiraju, H. Edelsbrunner, M. Facello, P. Fu, E. P. Mucke y C. Varela. "Formas alfa: definición y software". En "Actas del Taller Internacional de Software de Geometría Computacional de 1995", Minneapolis.
• Edelsbrunner, Herbert (1995), «Smooth surfaces for multi-scale shape representation», Foundations of software technology and theoretical computer science (Bangalore, 1995), Lecture Notes in Comput. Sci. 1026, Berlin: Springer, pp. 391-412, MR 1458090 ..
• Edelsbrunner, Herbert; Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1983), «On the shape of a set of points in the plane», IEEE Transactions on Information Theory 29 (4): 551-559, doi:10.1109/TIT.1983.1056714 ..

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Forma alfa.
• Formas alfa 2D y Formas alfa 3D en CGAL, la biblioteca de algoritmos de geometría computacional.
• Complejo alfa en la biblioteca GUDHI.
• Descripción e implementación por la Universidad de Duke
• Todo lo que siempre quisiste saber sobre las formas alfa pero tenías miedo de preguntar ? con ilustraciones y demostración interactiva
• Implementación de la forma alfa 3D para la reconstrucción de conjuntos 3D a partir de una nube de puntos en R
• Descripción de la Detalles de implementación para formas alfa ? Conferencia que describe los aspectos formales e intuitivos de la implementación de formas alfa
• Envolventes alfa, formas y elementos ponderados ? Diapositivas de la conferencia de Robert Pless en Universidad Washington en San Luis