Integral abeliana

En matemáticas, una integral abeliana, llamada así en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, es una integral en el plano complejo de la forma

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

donde ${\displaystyle R(x,w)}$ es una función racional arbitraria de dos variables ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle w}$, que están relacionadas por la ecuación

${\displaystyle F(x,w)=0,}$

donde ${\displaystyle F(x,w)}$ es una polinomio irreducible en ${\displaystyle w}$,

${\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}$

cuyos coeficientes ${\displaystyle \varphi _{j}(x)}$, ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$ son funciones racionales de ${\displaystyle x}$. El valor de una integral abeliana depende no solo de los límites de integración, sino también de la trayectoria a lo largo de la que se realiza la integración. Por lo tanto, es una función multivaluada de ${\displaystyle z}$.

Las integrales abelianas son generalizaciones naturales de las integrales elípticas, que surgen cuando

${\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}$

donde ${\displaystyle P\left(x\right)}$ es un polinomio de grado 3 o 4. Otro caso especial de integral abeliana es una integral hiperelíptica, donde ${\displaystyle P(x)}$, en la fórmula anterior, es un polinomio de grado mayor que 4.

Historia

La teoría de las integrales abelianas se originó con un artículo de Abel publicado en 1841. Este artículo fue escrito durante su estancia en París en 1826 y presentado a Augustin Louis Cauchy en octubre del mismo año. Esta teoría, desarrollada posteriormente en su totalidad por otros, fue uno de los logros culminantes de las matemáticas del siglo XIX y ha tenido un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas modernas. En un lenguaje más abstracto y geométrico, se engloba en el concepto de variedad abeliana, o más precisamente en la forma en que una curva algebraica puede aplicarse a variedades abelianas. Las integrales abelianas se vincularon posteriormente al decimosexto problema planteado por el destacado matemático David Hilbert, que siguen considerándose uno de los principales desafíos de las matemáticas contemporáneas.

Perspectiva moderna

En la teoría de superficies de Riemann, una integral abeliana es una función relacionada con la antiderivada de un diferencial de primera especie. Supóngase que se tiene una superficie de Riemann ${\displaystyle S}$ y en ella una 1-forma diferencial ${\displaystyle \omega }$ que es holomorfa en todas partes sobre ${\displaystyle S}$, y se fija un punto ${\displaystyle P_{0}}$ en ${\displaystyle S}$ desde el cual integrar. Entonces, se puede considerar

${\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }$

como una función multivaluada ${\displaystyle f\left(P\right)}$, o (mejor aún) como una función propiamente dicha de la trayectoria elegida ${\displaystyle C}$ trazada sobre ${\displaystyle S}$ desde ${\displaystyle P_{0}}$ hasta ${\displaystyle P}$. Dado que ${\displaystyle S}$ será en general un conjunto simplemente conexo, se debe especificar ${\displaystyle C}$, pero el valor dependerá en realidad solo de la homología de ${\displaystyle C}$.

En el caso de que ${\displaystyle S}$ sea una superficie de Riemann de genus 1, es decir, un curva elíptica, tales funciones son integrales elípticas.

Tales funciones se introdujeron inicialmente para estudiar las integrales hiperelípticas, es decir, para el caso en que ${\displaystyle S}$ es una curva hiperelíptica. Se trata de un paso natural en la teoría de la integración hacia el caso de integrales que involucran funciones algebraicas ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$, donde ${\displaystyle A}$ es un polinomio de grado ${\displaystyle >4}$. Las primeras aportaciones fundamentales a la teoría se deben a Abel, y posteriormente se formuló en términos de variedades jacobianas ${\displaystyle J\left(S\right)}$. La elección de ${\displaystyle P_{0}}$ da lugar a una función holomorfa estándar

${\displaystyle S\to J(S)}$

de variedades complejas. Posee la propiedad definitoria de que las 1-formas holomorfas sobre ${\displaystyle S\to J(S)}$ —de las cuales existen g independientes si g es el género de S— retornan a una base para los diferenciales de primera especie en S.

Véase también

• Diferencial abeliano

Referencias

Bibliografía

• Abel, Niels H. (1841). «Mémoire sur une propriété générale d’une classe très étendue de fonctions transcendantes». Mémoires présentés par divers savants à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut de France (en francés). Paris. pp. 176-264. 
• Appell, Paul; Goursat, Édouard (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (en francés). Paris: Gauthier-Villars. 
• Bliss, Gilbert A. (1933). Algebraic Functions. Providence: American Mathematical Society. 
• Forsyth, Andrew R. (1893). Theory of Functions of a Complex Variable. Providence: Cambridge University Press. 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. New York: John Wiley & Sons. 
• Neumann, Carl (1884). Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (2nd edición). Leipzig: B. G. Teubner.