Lema de Gronwall

Demostración

Sea ${\displaystyle \,G{(x)}=\int _{x_{o}}^{x}{f{(s)}ds}}$. Por la hipótesis se tiene que:

${\displaystyle G'{(x)}-B\,G{(x)}\leq A}$

Luego, multiplicando ambos miembros por ${\displaystyle e^{-B(x-x_{0})}}$ se obtiene:

${\displaystyle e^{-B(x-x_{0})}G'{(x)}-B\,e^{-B(x-x_{0})}G{(x)}\leq e^{-B(x-x_{0})}A}$

que equivale a:

${\displaystyle (e^{-B(x-x_{0})}G{(x)})'\leq A\,e^{-B(x-x_{0})}}$

Integrando entre ${\displaystyle x_{0}}$ y ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \int _{x_{o}}^{x}{(e^{-B(s-x_{0})}G{(s)})'ds}\leq A\int _{x_{o}}^{x}{e^{-B(s-x_{0})}ds}}$

${\displaystyle e^{-B(x-x_{0})}G{(x)}-G{(x_{0})}\leq -{\frac {A}{B}}(e^{-B(x-x_{0})}-1)}$

Por como fue definida, ${\displaystyle G{(x_{0})}=0}$. Multiplicando ahora por ${\displaystyle e^{B(x-x_{0})}}$ :

${\displaystyle G{(x)}\leq {\frac {A}{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)}$

Si reemplazamos la integral por G en la ecuación original:

${\displaystyle f{(x)}\leq A+B\,{\frac {A}{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)}$

De donde se deduce que:

${\displaystyle f{(x)}\leq A\,e^{B(x-x_{0})}}$