Recta real proyectivamente extendida

En análisis real, la recta real proyectivamente extendida (también llamada compactificación de Alexándrov de la recta real) es la extensión deL conjunto de los números reales, $\mathbb {R}$ , mediante un punto denotado como $\infty$ . Se trata, por tanto, del conjunto $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ con las operaciones aritméticas estándar extendidas siempre que sea posible, y a veces se denota como $\mathbb {R} ^{*}$ o ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ El punto añadido se denomina punto del infinito, ya que se considera un vecino de ambos extremos de la recta real. Más precisamente, el punto en el infinito es el límite de toda sucesión de números reales cuyos valores absolutos son crecientes e ilimitados.

La recta real proyectivamente extendida puede identificarse con una recta proyectiva real en la que a tres puntos se les han asignado los valores específicos $0$ , $1$ y $\infty$ . La recta real proyectivamente extendida es distinta de la recta real extendida, en la que $+\infty$ y $-\infty$ son elementos diferentes.

División por cero

A diferencia de la mayoría de los modelos matemáticos de números, esta estructura permite la división por cero:

{\frac {a}{0}}=\infty

para un valor a distinto de cero. En particular, $1 / 0 = \infty$ y $1 / \infty = 0$ , lo que convierte a la funciÓn recíproca $1 / x$ en una función total dentro de esta estructura. Sin embargo, la estructura no constituye un cuerpo, y ninguna de las operaciones aritméticas binarias es total: por ejemplo, $0 \cdot \infty$ no está definida, a pesar de que la operación del recíproco sí está definida para todos los elementos. No obstante, posee interpretaciones útiles, por ejemplo, en geometría, la pendiente de una recta vertical es $\infty$ .

Extensiones de la recta real

La recta real proyectivamente extendida amplía el cuerpo de los números reales de la misma manera que la esfera de Riemann extiende el cuerpo de los números complejos, añadiendo un único punto denominado, por convención, $\infty$ .

Por el contrario, la recta real extendida (también llamada compactación de dos puntos de la recta real) distingue entre $+\infty$ y $-\infty$ .

Orden

La relación de orden no puede extenderse a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ de manera significativa. Dado un número $a \neq \infty$ , no existe un argumento convincente para definir $a > \infty$ ni $a < \infty$ . Puesto que $\infty$ no puede compararse con ninguno de los otros elementos, no tiene sentido mantener esta relación en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Sin embargo, el orden en $\mathbb {R}$ se utiliza en definiciones dentro de ${\widehat {\mathbb {R} }}$ .

Geometría

Un aspecto fundamental de la idea de que $\infty$ es un punto que no se diferencia de ningún otro es el hecho de que la recta proyectiva real constituye un espacio homogéneo. De hecho, es homeomorfo a una circunferencia. Por ejemplo, el grupo lineal general de las matrices reales invertibles de 2 × 2 posee una acción transitiva sobre él. Esta acción puede expresarse mediante transformaciones de Möbius (también denominadas transformaciones fraccionarias lineales), bajo la convención de que, cuando el denominador de la transformación fraccionaria lineal es $0$ , la imagen es $\infty$ .

El análisis detallado de la acción demuestra que, para cualesquiera tres puntos distintos P, Q y R, existe una transformación fraccionaria lineal que lleva P a 0, Q a 1 y R a $\infty$ ; es decir, el grupo de las transformaciones fraccionarias lineales es triplemente transitivo sobre la recta proyectiva real. Esto no puede extenderse a cuádruplas de puntos, debido a que la razón anarmónica es invariante. La terminología recta proyectiva es apropiada, ya que los puntos están en correspondencia biunívoca con los subespacios lineales unidimensionales de $\mathbb {R} ^{2}$ .

Operaciones aritméticas

Motivación para las operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas en este espacio constituyen una extensión de las mismas operaciones definidas para los números reales. Una motivación para estas nuevas definiciones reside en los límites de las funciones de números reales.

Operaciones aritméticas definidas

Además de las operaciones estándar sobre el subconjunto $\mathbb {R}$ de ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , se definen las siguientes operaciones para $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , con las excepciones que se indican:

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

Operaciones aritméticas no definidas

Las siguientes expresiones no pueden justificarse mediante el análisis de límites de funciones reales. Además, no existe ninguna definición para ellas que permita mantener inalteradas las propiedades algebraicas estándar en todos los casos definidos. En consecuencia, quedan sin definir:

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

La función exponencial $e^{x}$ no puede extenderse a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ .

Propiedades algebraicas

Las siguientes igualdades significan: O bien ambos lados no están definidos, o bien ambos lados están definidos y son iguales. Esto es válido para cualquier $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

Lo siguiente es válido siempre que las expresiones involucradas estén definidas, para cualquier $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$ :

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

En general, todas las leyes de la aritmética que son válidas para $\mathbb {R}$ también lo son para ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , siempre que todas las expresiones que aparecen estén definidas.

Intervalos y topología

El concepto de intervalo puede extenderse a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Sin embargo, dado que no se trata de un conjunto ordenado, el intervalo tiene un significado ligeramente distinto. Las definiciones para los intervalos cerrados son las siguientes (se asume que $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ):

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

Salvo en el caso en que los extremos sean iguales, los intervalos abiertos y semiabiertos correspondientes se definen excluyendo los extremos respectivos. Esta redefinición resulta útil en aritmética de intervalos al realizar divisiones por un intervalo que contiene al 0.

${\widehat {\mathbb {R} }}$ y el conjunto vacío también son intervalos, al igual que el ${\widehat {\mathbb {R} }}$ excluyendo cualquier punto individual.

Los intervalos abiertos como base definen una topología sobre ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Para constituir una base, son suficientes los intervalos abiertos acotados en $\mathbb {R}$ y los intervalos $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ para todo $a,b\in \mathbb {R}$ tal que $a<b.$

Como se ha mencionado, la topología es homeomorfa a la de una circunferencia. Por tanto, es metrizable —para un homeomorfismo dado— a la topología métrica habitual en dicha circunferencia (ya sea medida en línea recta o a lo largo de la propia circunferencia). No existe ninguna métrica que constituya una extensión de la métrica habitual en $\mathbb {R} .$

Aritmética de intervalos

La aritmética de intervalos se extiende a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ a partir de $\mathbb {R}$ . El resultado de una operación aritmética entre intervalos es siempre un intervalo, salvo cuando los intervalos involucrados en una operación binaria contienen valores incompatibles, lo que da lugar a un resultado no definido. En particular, para todo $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , se tiene que:

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,

independientemente de si alguno de los intervalos incluye $0$ o $\infty$ .

Cálculo

Las herramientas del cálculo infinitesimal pueden emplearse para analizar funciones definidas sobre ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Las definiciones están motivadas por la topología de este espacio.

Entornos

Sean $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ y $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ .

$A$ es un entorno de $x$ si $A$ contiene un intervalo abierto $B$ que, a su vez, contiene a $x$ .
$A$ es un entorno por la derecha de $x$ si existe un número real $y$ tal que $y\neq x$ y $A$ contienen el intervalo semiabierto $[x,y)$ .
$A$ es un entorno por la izquierda de $x$ si existe un número real $y$ tal que $y\neq x$ y $A$ contienen el intervalo semiabierto $(y,x]$ .
$A$ es un entorno reducido -que no contiene al punto- (respectivamente, un entorno reducido por la derecha o por la izquierda) de $x$ si $x\not \in A,$ y $A\cup \{x\}$ es un entorno (respectivamente, un entorno por la derecha o por la izquierda) de $x$ .

Límites

Definiciones básicas de límites

Sean $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ , $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ y $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ .

El límite de f (x) cuando $x$ x tiende a p es L, denotado como

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

si y solo si para todo entorno A de L, existe un entorno reducido B de p tal que $x\in B$ implica $f(x)\in A$ .

El límite lateral de f (x) cuando x tiende a p por la derecha (o por la izquierda) es L, lo cual se denota como:

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),(143)

si y solo si, para todo entorno A de L, existe un entorno perforado por la derecha (o por la izquierda) B de p tal que $x\in B$ implica $f(x)\in A.$

Se puede demostrar que $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ si y solo si se cumplen tanto $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ como $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$ .

Comparación con los límites en $\mathbb {R}$

Las definiciones anteriores pueden compararse con las definiciones habituales de límites de funciones reales. En los siguientes enunciados, $p,L\in \mathbb {R} ,$ el primer límite corresponde a la definición dada arriba, mientras que el segundo se refiere al límite en el sentido habitual:

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

Definición extendida de límites

Sea $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ . Entonces, p es un punto de acumulación de A si y solo si todo entorno de p contiene un punto $y\in A$ tal que $y\neq p.$

Sea $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , y sea p un punto de acumulación de A. El límite de f (x) cuando x tiende a p a través de A es L si y solo si, para todo entorno B de L, existe un entorno reducido C de p tal que $x\in A\cap C$ implica $f(x)\in B.$

Esto corresponde a la definición topológica habitual continuidad, aplicada a la topología del subespacio $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ y la restricción de la función f en $A\cup \lbrace p\rbrace .$

Continuidad

La función

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}

es continua en $p$ si y solo si $f$ está definida en $p$ y

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

Si $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$ , la función

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

es continua en $A$ si y solo si, para todo $p\in A$ , $f$ está definida en $p$ y el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $p$ a través de $A$ es $f(p).$

Toda función racional $P (x)/ Q (x)$ , donde $P$ y $Q$ son polinomios, puede prolongarse, de manera única, a una función de ${\widehat {\mathbb {R} }}$ a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ que sea continua en ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ En particular, este es el caso de las polinomios, que toman el valor $\infty )$ en $\infty ,$ si no son constantes.

Además, si la función tangente $\tan$ se extiende de modo que

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{for }}n\in \mathbb {Z} ,

entonces $\tan$ es continua en $\mathbb {R} ,$ pero no puede prolongarse más allá a una función que sea continua en ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

Muchas funciones elementales que son continuas en $\mathbb {R}$ no pueden prolongarse a funciones que sean continuas en ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ Este es el caso, por ejemplo, de la función exponencial y de todas las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la función seno es continua en $\mathbb {R} ,$ , pero no es posible hacerla continua en $\infty .$ Como se ha visto anteriormente, la función tangente puede prolongarse a una función que sea continua en $\mathbb {R} ,$ pero dicha función no puede hacerse continua en $\infty .$

Muchas funciones discontinuas que se vuelven continuas al extender el codominio a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ siguen siendo discontinuas si el codominio se extiende a la recta real extendida ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Este es el caso de la función $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ Por otro lado, algunas funciones que son continuas en $\mathbb {R}$ y discontinuas en $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ pasan a ser continuas si el dominio se extiende a ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Este es el caso del arto tangente.

Como rango proyectivo

Artículo principal: Rango proyectivo

Cuando se considera la recta proyectiva real en el contexto del plano proyectivo real, las consecuencias del teorema de Desargues quedan implícitas. En particular, la construcción de la relación de una cuaterna armónica entre puntos forma parte de la estructura de la recta proyectiva real. Por ejemplo, dado cualquier par de puntos, el punto del infinito es el conjugado armónico proyectivo de su punto medio.

Dado que las operaciones proyectivas preservan la relación armónica, constituyen los automorfismos de la recta proyectiva real. Las proyectividades se describen algebraicamente como homografías, ya que los números reales forman un anillo, de acuerdo con la construcción general de la recta proyectiva sobre un anillo. En conjunto, forman el grupo PGL(2, R).

Las proyectividades que son sus propias inversas se denominan involuciones. Una involución hiperbólica posee dos puntos fijos. Dos de estos corresponden a operaciones aritméticas elementales en la recta proyectiva real: negación y reciprocación. En efecto, 0 y ∞ permanecen fijos bajo la operación de negación, mientras que 1 y −1 permanecen fijos bajo la operación de inversión (reciprocación).

Véase también

Referencias

1 2 3 4 5 NBU, DDE (5 de noviembre de 2019). PG MTM 201 B1 (en inglés). Directorate of Distance Education, University of North Bengal.
1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. «Projectively Extended Real Numbers». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 13 de julio de 2025.
↑ Lee, Nam-Hoon (28 de abril de 2020). Geometry: from Isometries to Special Relativity (en inglés). Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4.
↑ Sin embargo, existe una extensión en la que todas las propiedades algebraicas, cuando se restringen a operaciones definidas en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , se rigen por las reglas estándar: véase teoría de la rueda.
↑ Si se requiere coherencia de la complementación, de modo que $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ y $(a,b]^{\complement }=(b,a](110)$ para todos los $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (donde se define el intervalo en cada lado), todos los intervalos excluyendo $\varnothing$ y ${\widehat {\mathbb {R} }}$ pueden representarse naturalmente usando esta notación, interpretando $(a,a)$ como ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ y los intervalos semiabiertos con puntos finales iguales, p. $(a,a]$ , quedando sin definir.
↑ Por ejemplo, el cociente de intervalos $[0,1]/[0,1]$ contiene el $0$ en ambos intervalos y, dado que $0 / 0$ no está definido, el resultado de la división de estos intervalos no está definido.