Cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones o cálculo variacional es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Este problema de optimización (de dimensiones infinitas) con aplicaciones en física teórica y física matemática se convirtió en un campo especializado a mediados del siglo XVIII, particularmente por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange. El cálculo de variaciones, sus temas relacionados y sus aplicaciones son objeto de la enseñanza actual, Desarrollo posterior e investigación. La pregunta ¿Cómo se pueden seguir desarrollando los métodos del cálculo de variaciones? es el 23.º problema de la lista de problemas de Hilbert. Los matemáticos Ennio De Giorgi y Charles Morrey, entre otros, realizaron otras contribuciones. Sus investigaciones condujeron a la solución del decimonoveno problema de Hilbert con el reto ¿Son analíticas todas las soluciones de los problemas variacionales regulares?. Los teoremas desarrollados por la matemática alemana Emmy Noether, relacionados con el cálculo de variaciones, desempeñan un papel importante en la física moderna (Simetría). La matemática estadounidense Karen Uhlenbeck fue galardonada con el Premio Abel en 2019. Uhlenbeck ha trabajado intensamente en el cálculo de variaciones.

Historia

El cálculo de variaciones se desarrolló a partir del problema de la curva braquistócrona, planteado inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital, aunque fue Leonhard Euler el primero que elaboró una teoría del cálculo variacional. Las contribuciones de Euler se iniciaron en 1733 con su Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculo de variaciones') que da nombre a la disciplina.

Lagrange contribuyó extensamente a la teoría y Legendre (1786) asentó un método, no enteramente satisfactorio para distinguir entre máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron atención a este asunto. Otros trabajos destacados fueron los de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) y Carl Jacobi (1837). Un trabajo general particularmente importante es el de Sarrus (1842) que fue resumido por Cauchy (1844). Otros trabajos destacados posteriores son los de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), aunque quizá el más importante de los trabajos durante el siglo XIX es el de Weierstrass. Este importante trabajo fue una referencia estándar y es el primero que trata el cálculo de variaciones sobre una base firme y rigurosa. Los problema 20 y 23 de Hilbert planteados en 1900 estimularon algunos desarrollos posteriores. Durante el siglo XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones notables. Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones a lo que actualmente se conoce como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar y Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas dentro de la teoría del control óptimo, generalizando el cálculo de variaciones.

Problema Isoperimétrico

Artículo principal: Isoperimetría

¿Cuál es el área máxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada? Si no existen restricciones adicionales, la solución es:

$A = \frac{L^{2}}{4 π},$

que es el valor que se obtiene para un círculo de radio $R = L / 2 π$ .

Si se imponen restricciones adicionales la solución es diferente. Un ejemplo es si suponemos que L se considera sobre una función $f (x)$ y los extremos de las curva están sobre los puntos $A = (a, 0), B = (b, 0)$ donde la distancia entre ellos está dada. Es decir $A B = L$ . El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería, hallar una función $f (x)$ de modo que:

$max_{f : [a, b] \to ℝ} I [f] = \int_{a}^{b} f (x) d x$

con las restricciones:

${\begin{matrix} G [f] = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f^{'} (x))^{2}} d x = L & longitud de arco \\ f (a) = f (b) = 0 \end{matrix}$

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto $P = (x_{0}, y_{0})$ al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de $P$ al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

$min_{f} T [f] = \int_{0}^{x_{0}} \frac{\sqrt{1 + (f^{'} (x))^{2}}}{\sqrt{2 g (y_{0} - y)}} d x$

donde g es la aceleración de la gravedad y las restricciones son, $f (0) = 0$ , $f (x_{0}) = y_{0}$ . Hay que notar que en $x = x_{0}$ existe una singularidad.

Extremos

El cálculo de variaciones está relacionado con los máximos o mínimos (colectivamente denominados extremos) de los funcionales. Un funcional mapea funciones con escalares, por lo que los funcionales se conocen como "funciones de funciones." Los funcionales poseen extremos con respecto a los elementos $y$ de un dado espacio de función definido sobre un determinado dominio. Se dice que un funcional $J [y]$ posee un extremo en la función $f$ si $Δ J = J [y] - J [f]$ posee el mismo signo para todo $y$ en un entorno arbitrariamente pequeño de $f .$ La función $f$ es denominada una función extrema. El extremo $J [f]$ es denominado un máximo local si $Δ J \leq 0$ en todo punto de un entorno arbitrariamente pequeño de $f,$ y un mínimo local si $Δ J \geq 0$ allí.Un espacio de un espacio de funciones continuas, los extremos de los funcionales correspondientes son denominados extremo fuerte o extremo débil, dependiendo de si las primeras derivadas de las funciones continuas son respectivamente continuas o no.

Tanto los extremos fuertes como los débiles de las funcionales son para un espacio de funciones continuas, pero los extremos fuertes tienen el requisito adicional de que las primeras derivadas de las funciones en el espacio sean continuas. Por lo tanto un extremo fuerte es también un extremo débil, pero la relación inversa no puede ser válida. Encontrar extremos fuertes es más difícil que encontrar extremos débiles. Un ejemplo de la condición necesaria que se utiliza para encontrar un extremo débil es la ecuación de Euler–Lagrange.

Formulación general

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de $x$ para el cual la función $f (x)$ alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función $f (x)$ para la cual un funcional $J [f]$ alcance un valor extremo. El funcional $J [f]$ está compuesto por una integral que depende de $x$ , de la función $f (x)$ y algunas de sus derivadas.

(1.ª) $max_{f} / min_{f} {J [f] = \int_{a}^{b} ℒ (x, f (x), f^{'} (x), f^{″} (x), \dots, f^{(n)} (x)) d x}$

Donde la función $f (x)$ pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones. Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a $x$ ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para $f$ :

(1b) $max_{𝐟} / min_{𝐟} {J [𝐟] = \int_{𝒟 \subset ℝ^{n}} ℒ (𝐱, 𝐟 (𝐱), D 𝐟 (𝐱), \dots, D^{n} 𝐟 (𝐱)) d^{n} 𝐱}$

Espacios funcionales

La fundamentación rigurosa del cálculo de variaciones requiere considerar variedades diferenciales lineales de dimensión infinita. De hecho el punto de partida del cálculo de variaciones es un teorema de análisis funcional que prueba que es posible considerar una curva en un espacio funcional (e.g. trayectoria en el espacio fásico) simplemente como una función con una variable adicional, concretamente:

La categoría formada por espacios vectoriales convenientes y funciones suaves entre ellos es cerrada por el producto cartesiano, de tal manera que se tiene la siguiente biyección natural:

$C^{\infty} (E \times F, G) \approx C^{\infty} (E, C^{\infty} (F, G))$

donde $E, F$ son espacios vectoriales convenientes y la biyección anterior es un difeomorfismo.

El teorema anterior puede aplicarse por ejemplo al principio de mínima acción donde trata de encontrarse la trayectoria posible en el espacio de fases que hace mínima la integral de acción. Dicha trayectoria es una curva suave en el espacio de trayectorias E, considerando ahora:

$E = C^{\infty} (ℝ, ℝ^{n}), F = G = ℝ$

Se tiene que el problema de minimización puede reducirse a minimizar una cierta función real f de variable real:

$f_{q_{0}} (ε) := S [q_{0} + ε δ q], S : ℂ^{\infty} (ℝ^{n}) \to ℝ, S [q] := \int_{t_{1}}^{t_{2}} ℒ (q (t), \dot{q} (t), t) d t, q (t) \in ℝ^{n}$

Extremos relativos débiles y fuertes

Un problema variacional requiere que el funcional $J (f)$ esté definido sobre un espacio de Banach $(V, ‖ \cdot ‖_{V})$ adecuado. La norma vectorial de dicho espacio es lo que permite definir rigurosamente si una solución es un mínimo o un máximo relativo. Por ejemplo una función $f_{0}$ es un mínimo relativo si existe un cierto $δ > 0$ tal que, para toda función $f$ se cumpla que:

$‖ f - f_{0} ‖ < δ \Rightarrow J (f_{0}) \leq J (f)$

Aplicaciones

El cálculo de variaciones es la rama del análisis matemático que estudia los métodos para hallar los extremos (máximos o mínimos) de funcionales, es decir, de aplicaciones que asignan un número real a cada función de una determinada clase. Su problema característico consiste en determinar la función

y (x)

que hace estacionaria una integral de la forma

J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y (x), y^{'} (x)) d x,

sujeta a condiciones de contorno prefijadas. La condición necesaria de extremo viene dada por la ecuación de Euler-Lagrange:

\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial F}{\partial y^{'}} = 0.

En la actualidad, el cálculo variacional desempeña un papel central en la física matemática, la ingeniería, la economía y numerosas ciencias aplicadas.

Mecánica clásica

La aplicación más influyente del cálculo variacional se encuentra en la mecánica clásica, a través del principio de mínima acción. Formulado de manera cualitativa por Maupertuis en 1744 y precisado por Euler y Lagrange, alcanzó su forma moderna con William Rowan Hamilton en 1834, por lo que se conoce también como principio de Hamilton. Según este principio, la evolución de un sistema mecánico descrito por las coordenadas generalizadas $q_{i} (t)$ entre dos instantes $t_{1}$ y $t_{2}$ es aquella que hace estacionaria la acción

S [q] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t,

donde $L = T - V$ es el lagrangiano del sistema, diferencia entre su energía cinética y su energía potencial. Las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas reciben en este contexto el nombre de ecuaciones de Lagrange:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0.

Estas ecuaciones son equivalentes a las leyes de Newton, pero presentan ventajas considerables: conservan su forma en cualquier sistema de coordenadas, eliminan la necesidad de calcular las fuerzas de reacción en sistemas con ligaduras holónomas y permiten incorporar restricciones adicionales mediante multiplicadores de Lagrange. Su empleo resulta especialmente eficaz en el estudio de sistemas de varios grados de libertad, como péndulos acoplados, cuerpos rígidos en rotación o mecanismos articulados.

A partir de la formulación lagrangiana, la transformada de Legendre conduce a la mecánica hamiltoniana, en la que el estado del sistema se describe mediante coordenadas y momentos conjugados en el espacio de fases. Esta formulación es la base de la teoría de Hamilton-Jacobi, de la teoría de perturbaciones en mecánica celeste y de la mecánica estadística. Un resultado de gran alcance es el teorema de Noether (1918), que establece que a cada simetría continua de la acción corresponde una magnitud conservada: la invariancia frente a traslaciones temporales implica la conservación de la energía; la invariancia frente a traslaciones espaciales, la del momento lineal; y la invariancia frente a rotaciones, la del momento angular.

Óptica

En óptica geométrica, el principio de Fermat, enunciado por Pierre de Fermat en 1662, establece que la luz recorre entre dos puntos el camino que hace estacionario el tiempo de tránsito o, de forma equivalente, el camino óptico

\int_{A}^{B} n (𝐫) d s,

donde $n$ es el índice de refracción del medio. De este enunciado se deducen la ley de la reflexión y la ley de Snell de la refracción, $n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}$ . En medios de índice variable, el principio predice trayectorias curvas de los rayos, lo que explica fenómenos como los espejismos, la refracción atmosférica y el funcionamiento de las fibras ópticas de índice gradual.

El paralelismo entre el principio de Fermat y el principio de mínima acción, conocido como analogía óptico-mecánica, fue desarrollado por Hamilton y tuvo consecuencias históricas notables. El propio Johann Bernoulli resolvió el problema de la braquistócrona, cuya solución es un arco de cicloide, asimilando el movimiento de un cuerpo en caída a la propagación de un rayo luminoso en un medio estratificado. Dos siglos más tarde, la misma analogía orientó a Erwin Schrödinger en la formulación de la mecánica ondulatoria, en la que la mecánica clásica aparece como límite de una teoría ondulatoria, del mismo modo que la óptica geométrica lo es de la óptica ondulatoria.

Geometría diferencial

En geometría diferencial, las geodésicas se definen como las curvas que hacen estacionaria la longitud de arco sobre una superficie o, más generalmente, sobre una variedad de Riemann. Las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional de longitud conducen a la ecuación de las geodésicas, que en el plano tiene por soluciones las rectas y en la esfera los círculos máximos. Este resultado tiene aplicación directa en la navegación aérea y marítima, donde las rutas ortodrómicas minimizan la distancia recorrida sobre la superficie terrestre, y en la geodesia.

Otro problema clásico es el de las superficies mínimas, aquellas que minimizan localmente el área para un contorno dado. Lagrange demostró en 1760 que estas superficies se caracterizan por tener curvatura media nula. Los primeros ejemplos no triviales fueron el catenoide, descubierto por Euler en 1744, y el helicoide, identificado por Meusnier en 1776. El problema de la existencia de una superficie mínima con un contorno arbitrario, conocido como problema de Plateau en honor del físico Joseph Plateau, que lo estudió experimentalmente con películas de jabón, fue resuelto de manera general por Jesse Douglas y Tibor Radó en 1930 y 1931. Las superficies mínimas han inspirado soluciones en arquitectura, particularmente en el diseño de cubiertas tensadas y estructuras ligeras.

Física moderna

La formulación variacional se extiende de forma natural a la teoría clásica de campos, en la que las coordenadas generalizadas se sustituyen por campos $ϕ (x)$ definidos sobre el espacio-tiempo y la acción se expresa como la integral de una densidad lagrangiana $ℒ$ :

S [ϕ] = \int ℒ (ϕ, \partial_{μ} ϕ) d^{4} x .

Las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo se obtienen como ecuaciones de Euler-Lagrange de una densidad lagrangiana construida a partir del tensor de campo electromagnético. De manera análoga, en la relatividad general las ecuaciones de campo de Einstein se derivan de la acción de Einstein-Hilbert, propuesta por Hilbert en 1915, cuya variación respecto del tensor métrico determina la geometría del espacio-tiempo en presencia de materia y energía. En este marco, las partículas libres se desplazan a lo largo de geodésicas del espacio-tiempo, lo que une la física gravitatoria con el problema geométrico descrito en la sección anterior. El modelo estándar de física de partículas se formula igualmente mediante una densidad lagrangiana, cuyas simetrías de gauge determinan la estructura de las interacciones fundamentales.

En mecánica cuántica, la formulación de integrales de camino, desarrollada por Richard Feynman en 1948, ofrece una reinterpretación profunda del principio de mínima acción. En ella, la amplitud de probabilidad de que un sistema pase de un estado a otro se obtiene sumando las contribuciones de todas las trayectorias posibles, cada una ponderada por el factor $e^{i S / ℏ}$ , donde $ℏ$ es la constante de Planck reducida. En el límite clásico, las contribuciones de trayectorias alejadas de la estacionaria se cancelan por interferencia destructiva, y solo sobrevive la trayectoria que satisface el principio de Hamilton.

El cálculo variacional proporciona además herramientas de aproximación fundamentales en física cuántica. El método variacional de Rayleigh-Ritz se basa en que el valor esperado del hamiltoniano en cualquier estado de prueba constituye una cota superior de la energía del estado fundamental:

E_{0} \leq \frac{⟨ ψ | \hat{H} | ψ ⟩}{⟨ ψ | ψ ⟩} .

Minimizando esta expresión sobre una familia de funciones de prueba dependiente de parámetros se obtienen estimaciones de la energía y de la función de onda. Este principio subyace a métodos de amplio uso en química cuántica y física del estado sólido, como el método de Hartree-Fock y la teoría del funcional de la densidad.

Ingeniería y mecánica de sólidos

En la teoría de la elasticidad y en la resistencia de materiales, el principio de la energía potencial mínima establece que, entre todas las configuraciones de desplazamiento compatibles con las condiciones de contorno, la de equilibrio estable es la que minimiza la energía potencial total, definida como la diferencia entre la energía de deformación almacenada y el trabajo de las cargas exteriores. Aplicado a la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, este principio conduce a la ecuación diferencial de la elástica, que relaciona la flecha de la viga con la carga distribuida y la rigidez a flexión $E I$ . Un planteamiento análogo permite estudiar la flexión de placas y láminas.

Los métodos variacionales son igualmente esenciales en el análisis de la estabilidad estructural. Euler determinó en 1744 la carga crítica de pandeo de una columna esbelta biarticulada, $P_{c r} = π^{2} E I / L^{2}$ , a partir de la pérdida de carácter mínimo de la energía potencial. El estudio de la segunda variación del funcional energético permite, en general, distinguir las configuraciones de equilibrio estables de las inestables, lo que resulta crucial en el diseño de estructuras metálicas, aeronáuticas y navales.

Los principios variacionales constituyen además el fundamento teórico de los métodos de aproximación de Rayleigh-Ritz y de Galerkin, y de su desarrollo moderno, el método de los elementos finitos. Este método, cuyos antecedentes se sitúan en un trabajo de Richard Courant de 1943 y que se desarrolló de forma sistemática en la industria aeronáutica durante la década de 1950, parte de la formulación débil o variacional de una ecuación diferencial. El dominio se divide en elementos de geometría sencilla y la solución se aproxima mediante funciones polinómicas definidas a trozos, de modo que la búsqueda del extremo de un funcional en un espacio de dimensión infinita se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas, representado por la llamada matriz de rigidez. El método se emplea hoy en el cálculo de estructuras, la mecánica de fluidos, la transferencia de calor, el electromagnetismo y la biomecánica.

En el ámbito de la aerodinámica y el diseño industrial, el cálculo variacional se aplica a la optimización de forma, cuyo objetivo es determinar la geometría de un cuerpo que minimiza una magnitud como la resistencia al avance o el peso, sujeta a restricciones de resistencia mecánica. El problema de Newton sobre el sólido de mínima resistencia constituye el antecedente histórico de esta línea de trabajo.

Control óptimo

La teoría del control óptimo, desarrollada a mediados del siglo XX, constituye una generalización del cálculo de variaciones orientada a sistemas dinámicos sobre los que puede actuarse mediante variables de control. En su planteamiento típico, el estado $𝐱 (t)$ de un sistema evoluciona según una ecuación diferencial $\dot{𝐱} = 𝐟 (𝐱, 𝐮, t)$ , y se busca la ley de control $𝐮 (t)$ , perteneciente a un conjunto de valores admisibles, que minimiza un funcional de coste. A diferencia del cálculo variacional clásico, esta teoría admite controles discontinuos y restricciones de desigualdad, frecuentes en los problemas técnicos.

El resultado central de la teoría es el principio del máximo de Pontriaguin, formulado por Lev Pontriaguin y sus colaboradores entre 1956 y 1962. El principio introduce un hamiltoniano que combina el integrando del coste con la dinámica del sistema mediante variables adjuntas o de coestado, y establece que el control óptimo extremiza dicho hamiltoniano en cada instante. De forma paralela, Richard Bellman desarrolló la programación dinámica, que conduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, generalización de la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica.

Las aplicaciones de la teoría del control óptimo abarcan el cálculo de trayectorias de cohetes y satélites, las maniobras de transferencia orbital de mínimo consumo de combustible, los problemas de tiempo mínimo en robótica y el diseño de sistemas de regulación. Entre estos últimos destaca el regulador lineal cuadrático, que proporciona una ley de control por realimentación para sistemas lineales con coste cuadrático y se emplea ampliamente en ingeniería aeroespacial, eléctrica y química.

Economía

En economía, las técnicas variacionales se utilizan para analizar decisiones intertemporales, en las que los agentes deben distribuir recursos a lo largo del tiempo. El ejemplo paradigmático es el modelo de crecimiento propuesto por Frank Ramsey en 1928 y ampliado por David Cass y Tjalling Koopmans en la década de 1960, conocido como modelo de Ramsey-Cass-Koopmans. En él se determina la senda de consumo y acumulación de capital que maximiza la suma descontada de la utilidad de una sociedad; la condición de Euler resultante relaciona la variación del consumo con la diferencia entre el rendimiento del capital y la tasa de descuento, y se complementa con una condición de transversalidad en el horizonte infinito.

Otra aplicación clásica es la teoría de los recursos no renovables formulada por Harold Hotelling en 1931, según la cual, en condiciones de competencia, el precio neto de un recurso agotable debe crecer a una tasa igual al tipo de interés, conocida como regla de Hotelling. Los métodos de optimización dinámica se aplican asimismo a la gestión de pesquerías y bosques, a la política de inversión de las empresas, a la planificación de la producción y los inventarios, y en finanzas a la selección óptima de carteras de inversión en tiempo continuo.

Otras aplicaciones

Problemas isoperimétricos y de valores propios

Los problemas isoperimétricos consisten en extremizar un funcional sujeto a una restricción integral, y se resuelven mediante multiplicadores de Lagrange. El más antiguo, vinculado a la leyenda de la reina Dido, busca la curva cerrada de longitud dada que encierra el área máxima, cuya solución es la circunferencia. Del mismo tipo es el problema de la catenaria, la forma que adopta una cadena homogénea suspendida por sus extremos, que minimiza su energía potencial gravitatoria para una longitud fija; la curva invertida define el perfil de los arcos que trabajan exclusivamente a compresión.

Los problemas de valores propios asociados a las ecuaciones diferenciales de la física admiten igualmente una caracterización variacional. Las frecuencias propias de vibración de cuerdas, membranas y estructuras corresponden a los valores estacionarios del cociente de Rayleigh, y el principio de mínimo-máximo de Courant permite estimarlas y compararlas sin resolver explícitamente las ecuaciones.

Procesamiento de imágenes

En el procesamiento digital de imágenes y la visión artificial, numerosos problemas se formulan como la minimización de funcionales de energía que equilibran la fidelidad a los datos observados con la regularidad de la solución. Entre los más conocidos figuran la eliminación de ruido mediante la minimización de la variación total, propuesta por Rudin, Osher y Fatemi en 1992, que preserva los bordes de la imagen; la segmentación basada en el funcional de Mumford-Shah (1989); y los contornos activos, curvas que evolucionan hasta ajustarse a los bordes de los objetos y se emplean, entre otros ámbitos, en el análisis de imágenes médicas.

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

Cambios acumulados de esfuerzos de Coulomb.

Datos: Q216861
Multimedia: Calculus of variations / Q216861

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[12] El entorno de $f$ es la porción de un dado espacio de función donde $| y - f | < h$ sobre todo el dominio de las funciones, con $h$ un número positivo que especifica el tamaño del entorno.

[13] Notar la diferencia entre los términos extremo y extrema. Una extrema es una función que hace a un funcional un extremo.

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[17] Para una condición suficiente, ver sección "Variaciones y condición suficiente para un mínimo.

[18] A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

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