Kolmnurk

See artikkel räägib geomeetria mõistest; heraldika mõiste kohta vaata artiklit Kolmnurk (heraldika); tähtkuju kohta vaata artiklit Kolmnurk (tähtkuju); Eesti animafilmi kohta vaata artiklit Kolmnurk (film)

Kolmnurk on kolme tipuga hulknurk.

Eukleidese geomeetrias on kolmnurk lihtsaim tasandiline geomeetriline kujund, mida piiravad sirglõigud. Seda piiravaid lõike nimetatakse külgedeks. Selle sees on kolm nurka, mida nimetatakse sisenurkadeks. Nende nurkade tippe nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurgamõistet on võimalik üldistada ka mitteeukleidilistele geomeetriatele. Sel juhul peavad piiravad jooned olema geodeetilised jooned.

Kolmnurkadel on tasandi geomeetrias oluline koht, sest kõik hulknurgad saab lahutada kolmnurkadeks ja sellepärast saab neid uurida kolmnurga geomeetria abil. Peale selle põhineb kolmnurkadel trigonomeetria, mis on üks matemaatika fundamentaalne haru.

Üldine kolmnurk

Ruumis on kolmnurk määratud kolme erineva punktiga, mis ei paikne ühel ja sellelsamal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks.

Osutub, et kolmnurk asub ühel tasandil: see on tasapinnaline kujund. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil.

Mõnikord loetakse kolmnurka kuuluvaks ka kolmnurga tippudega määratud tasandi osa, mis on piiratud kolmnurga külgedega. Sel juhul kuulub selle tasandi punkt kolmnurka siis ja ainult siis, kui ta asub mõnel sirglõigul, mis ühendab kaht punkti, millest kumbki asub selle kolmnurga mõnel küljel.

Kolmnurga nurgad

Igas kolmest tipust moodustavad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks.

Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk π radiaani (π rad).

Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega α, β ja γ. Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega γ ning teravnurki tähtedega α ja β.

Kolmnurga sisenurga kõrvunurka nimetatakse kolmnurga välisnurgaks. Välisnurga moodustab kolmnurga üks külg ja teise külje pikendus. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga.

Kolmnurga küljed

Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki.

Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c. Samuti võib neid tähistada kahe suurtähega (AB, BC ja AC): näiteks külg AB ühendab tippe A ja B.

Kolmnurga mediaanid

Kolmnurga mediaan on kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav sirglõik. Kolmnurgal on kolm mediaani, mis lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga tsentroid. Võrdkülgses kolmnurgas on mediaanid ühtlasi ka nurgapoolitajaks. Mediaanide lõikepunkt jagab mediaanid osadeks suhtega, kus tipupoolne osa on kaks korda pikem kui küljepoolne osa.

Kolmnurga mediaani pikkus leitakse valemiga:

${\displaystyle m_{a}={\sqrt {\tfrac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}$

${\displaystyle m_{b}={\sqrt {\tfrac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\sqrt {\tfrac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}$

kus ${\displaystyle a,b}$ ja ${\displaystyle c}$ on kolmnurga küljepikkused.

Kolmnurga kesklõik

Kolmnurga kesklõik on kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendav sirglõik, mis on paralleelne ühe küljega ja on võrdne poolega selle külje pikkusest. Kolmnurgal on kolm kesklõiku, mis jagavad kolmnurga neljaks võrdseks kolmnurgaks.

${\displaystyle A_{1}C_{1}||AC}$

${\displaystyle A_{1}C_{1}={\frac {1}{2}}AC}$

Kolmnurga nurgapoolitajad

Kolmnurga nurgapoolitaja ehk bisektor on kolmnurga nurka kaheks võrdseks nurgaks jagav nurga tipust vastasküljeni ulatuv sirglõik. Kolmnurgal on kolm nurgapoolitajat, mis lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks. Kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunkt jaotab nurgapoolitaja kaheks lõiguks, saadud kaks lõiku alates tipust suhtuvad nii nagu nurga lähiskülgede summa suhtub nurga vastaskülge.

${\displaystyle {\tfrac {AG}{GD}}={\tfrac {AB+AC}{BC}}}$

${\displaystyle {\tfrac {BG}{GF}}={\tfrac {AB+BC}{AC}}}$

${\displaystyle {\tfrac {CG}{GE}}={\tfrac {BC+AC}{AB}}}$

Kolmnurga nurgapoolitaja jaotab nurga vastaskülje lõikudeks, mis on võrdelised nurga kahe lähisküljega, st

${\displaystyle {\tfrac {AB}{AF}}={\tfrac {CB}{CF}}}$

${\displaystyle {\tfrac {CA}{CD}}={\tfrac {BA}{BD}}}$

${\displaystyle {\tfrac {AC}{AE}}={\tfrac {BC}{BE}}}$

Kolmnurga nurgapoolitaja pikkus leitakse valemiga:

${\displaystyle l_{\alpha }={\tfrac {c\sin {\beta }}{\sin {{\tfrac {\alpha }{2}}+\beta }}}={\tfrac {2bc\cos {\tfrac {\alpha }{2}}}{b+c}}}$

${\displaystyle l_{\beta }={\tfrac {a\sin {\gamma }}{\sin {{\tfrac {\beta }{2}}+\gamma }}}={\tfrac {2ac\cos {\tfrac {\beta }{2}}}{a+c}}}$

${\displaystyle l_{\gamma }={\tfrac {b\sin {\alpha }}{\sin {{\tfrac {\gamma }{2}}+\alpha }}}={\tfrac {2ab\cos {\tfrac {\gamma }{2}}}{a+b}},}$

kus ${\displaystyle a,b}$ ja ${\displaystyle c}$ on kolmnurga küljepikkused ning ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ja ${\displaystyle \gamma }$ on vastavalt nende külgede vastasnurgad.

Kolmnurga siseringjoon

Kõikidele kolmnurkade sisse saab joonestada ringjoone, mis puudutab igat kolmnurga külge. Sellist ringjoont nimetatakse kolmnurga siseringjooneks. Siseringjoone keskpunkt on kolmnurga nurki poolitavate sirgete (kolmnurga nurgapoolitajate) lõikepunkt.

Kolmnurga siseringjoone raadius võrdub kolmnurga kahekordse pindala ja kolmnurga ümbermõõdu jagatisega.

${\displaystyle r={\frac {2S}{P}}={\frac {S}{p}},}$

kus r on kolmnurga siseringjoone raadius, S kolmnurga pindala, P kolmnurga ümbermõõt ning p pool kolmnurga ümbermõõtu: ${\displaystyle p={\tfrac {P}{2}}={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

Täisnurkse kolmnurga siseringjoone raadius võrdub ka kaatetite poolsumma ja poole hüpotenuusi vahega.

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}},}$

kus r on kolmnurga siseringjoone raadius, a ja b kaatetid ning c on hüpotenuus.

Kolmnurga ümberringjoon

Kõikidele kolmnurkadele saab joonestada ringjoone, millel asetsevad kolmnurga tipud. Sellist ringjoont nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ümberringjoone keskpunkt on kolmnurga külgi poolitavate ristsirgete (kolmnurga keskristsirgete) lõikepunkt.

Kolmnurga ümberringjoone diameeter on võrdne kolmnurga suvalise külje pikkuse ja selle külje vastasnurga siinuse jagatisega: $${\displaystyle {\text{d}}={\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

Ümberringjoone diameetri saab leida ka nii: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{d}}&{}={\frac {abc}{2{S}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$$ kus ${\displaystyle a,b,c}$ on kolmnurga küljepikkused, ${\displaystyle S}$ on kolmnurga pindala ja ${\displaystyle p={\tfrac {a+b+c}{2}}}$ on pool kolmnurga ümbermõõtu. Avaldis ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ on kolmnurga pindala Heroni valemi järgi.

Või nii: $${\displaystyle {\text{d}}={\sqrt {\frac {2{S}}{\sin {\alpha }\sin {\beta }\sin {\gamma }}}}.}$$

Kolmnurkade liigid

Nurkade järgi

Täisnurkne kolmnurk

 Pikemalt artiklis Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on kaatetid ja ülejääv külg on hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.

Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.

Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.

Teravnurkne kolmnurk

 Pikemalt artiklis Teravnurkne kolmnurk

Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi.

Nürinurkne kolmnurk

 Pikemalt artiklis Nürinurkne kolmnurk

Nürinurkse kolmnurga üks nurk on suurem kui 90 kraadi.

Kaldnurkne kolmnurk

Nüri- ja teravnurkseid kolmnurki nimetatakse mõnikord kaldnurkseteks kolmnurkadeks.

Külgede järgi

Võrdhaarne kolmnurk

 Pikemalt artiklis Võrdhaarne kolmnurk

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse kolmnurga haaradeks nimetatakse kahte võrdset külge ja aluseks kolmandat külge. Tipunurgaks nimetatakse selle kolmnurga kahe võrdse külje vahelist nurka. Võrdhaarse kolmnurga kaht teist nurka nimetatakse alusnurkadeks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.

Võrdkülgne kolmnurk

 Pikemalt artiklis Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60° = π/3. Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk.

Nagu igasse korrapärasesse hulknurka, nii ka võrdkülgsesse kolmnurka joonistatud siseringjoone raadius võrdub apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust ${\displaystyle (a*{\sqrt {3}}/6)}$, kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust ${\displaystyle (a*{\sqrt {3}}/3)}$. Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole. Võrdkülgse kolmnurga kõrguse saab küljepikkuse järgi leida valemiga:

${\displaystyle h={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Erikülgne kolmnurk

Erikülgne kolmnurk on kolmnurk, millel kõik küljed on erineva pikkusega. Erikülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti erineva suurusega.

Kolmnurga pindala

• Põhiline valem kolmnurga pindala arvutamiseks on

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah,}$

kus a on kolmnurga alus ja h selle kõrgus.

• Kolmnurga pindala siseringjoone raadiuse ja ümbermõõdu järgi:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}rP=rp,}$

kus r on kolmnurga siseringjoone raadius, P kolmnurga ümbermõõt ning p pool kolmnurga ümbermõõtu: ${\displaystyle p={\tfrac {P}{2}}={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

• Kolmnurga pindala külgede (a,b,c) ja ümberringjoone raadiuse (R) järgi:

${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$

• Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ac\sin \beta }$

• Kolmnurga pindala ühe külje ja selle lähinurkade järgi:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}}={\frac {b^{2}}{2(\cot \alpha +\cot \gamma )}}={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin \gamma )}{2\sin(\alpha +\gamma )}}={\frac {c^{2}}{2(\cot \alpha +\cot \beta )}}={\frac {c^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )}{2\sin(\alpha +\beta )}}}$

• Kolmnurga pindala kolme külje järgi, e Heroni valem:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$

kus a, b ja c on kolmnurga külgede pikkused ning p pool kolmnurga ümbermõõtu: ${\displaystyle p={\tfrac {P}{2}}={\tfrac {a+b+c}{2}}}$.

Või ka:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}}}$

• Kolmnurga pindala selle kõrguste järgi:

${\displaystyle S={\frac {1}{4{\sqrt {H(H-{\frac {1}{h_{a}}})(H-{\frac {1}{h_{b}}})(H-{\frac {1}{h_{c}}})}}}}=({4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}})^{-1},}$

kus ${\displaystyle H={\frac {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})}{2}}={\frac {(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})}{2}}}$ ning ${\displaystyle h_{a},h_{b}}$ ja ${\displaystyle h_{c}}$ on kolmnurga kõrgused.

• Kolmnurga pindala ümbermõõdu, ühe külje ning seda külge väljast ja selle vastasnurga haarade pikendusi seest poolt puudutava ringjoone (ehk külgneva ringi) raadiuse järgi:

${\displaystyle S=r({\tfrac {P}{2}}-a)=r(p-a),}$

kus a on kolmnurga külg, mida ringjoon puudutab, r on ringjoone raadius ning p pool kolmnurga ümbermõõtu (P): ${\displaystyle p={\tfrac {P}{2}}={\tfrac {a+b+c}{2}}}$.

• Võrdhaarse kolmnurga pindala:

${\displaystyle S={\tfrac {b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}{4}},}$

kus a on haara ja b aluse pikkus.

• Võrdkülgse kolmnurga pindala:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}},}$

kus a on külje pikkus ja h on kolmnurga kõrgus.

• Täisarvulistes koordinaadipunktides paiknevate tippudega kolmnurga pindala tema sisemiste ja välispiiril asuvate täisarvuliste koordinaadipunktide arvude kaudu (Picki teoreem):

${\displaystyle S=I+{\tfrac {B}{2}}-1,}$

kus I ja B on vastavalt kolmnurga sees ja selle välispiiril olevate täisarvuliste koordinaadipunktide arvud.

• Kolmnurga pindala tasapinnaliste koordinaatide järgi:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|}$

${\displaystyle S={\tfrac {|(x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B}))|}{2}},}$

kus x-id ja y-id on vastavalt indeksile kolmnurga tippude A, B ja C koordinaadid.

• Kolmnurga pindala koordinaatide järgi kolmemõõtmelises ruumis:

${\displaystyle S={\sqrt {({\tfrac {x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}{2}})^{2}+({\tfrac {y_{A}(z_{B}-z_{C})+y_{B}(z_{C}-z_{A})+y_{C}(z_{A}-z_{B})}{2}})^{2}+({\tfrac {z_{A}(x_{B}-x_{C})+z_{B}(x_{C}-x_{A})+z_{C}(x_{A}-x_{B})}{2}})^{2}}},}$

kus x-id, y-id ja z-id on vastavalt indeksile kolmnurga tippude A, B ja C koordinaadid.

Kolmnurga nurga leidmine külgede järgi

Kolmnurga kolme teadaoleva küljepikkuse järgi saab koosinusteoreemi abil leida kolmnurga nurgad.

Nurk α (külje a vastas):

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

${\displaystyle \alpha =\arccos({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}})}$

Nurk β (külje b vastas):

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}}$

${\displaystyle \beta =\arccos({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}})}$

Nurk γ (külje c vastas):

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

Välislingid

• interaktiivne animatsioon erinevate kolmnurkade ja nende ümberringjoonte kohta

Tsitaadid Vikitsitaatides: Kolmnurk