Sirge

Eukleidese käsitlus

Eukleides käsitles sirget oma "Elementides" geomeetrilise põhimõistena, lähtudes suuresti intuitiivsest kujutlusest. Tema antud määratlus kirjeldab sirget geomeetrilise objektina, mille punktid paiknevad ühtlaselt. See ei ole tänapäevases mõttes sirge definitsioon ega konstruktsioon.

Eukleidese geomeetrias on sirge seotud eelkõige punktide, sirgete ja tasandite vastastikuse paiknemisega. Näiteks määravad kaks erinevat punkti ühe sirge. Sirget saab mõlemas suunas piiramatult pikendada ja sirglõik on sirge osa ühest punktist teiseni.

Hilberti aksiomaatiline käsitlus

David Hilbert esitas teoses "Grundlagen der Geometrie" Eukleidese geomeetria aksiomaatilise süsteemi. Hilberti süsteemis on punkt, sirge ja tasand määratlemata mõistete ehk algmõistete seas. Nendevahelisi suhteid kirjeldavad aksioomid, mille seas on intsidentsuse aksioomid. Näiteks ütleb üks intsidentsuse aksioomidest, et kahte eri punkti läbib parajasti üks sirge. Selline käsitlus erineb Eukleidese "Elementide" geomeetrilisest ja intuitiivsest esitusest: sirge olemust ei püüta defineerida teiste mõistete abil, vaid kirjeldatakse sirge suhteid teiste algmõistetega.

Sirgete vastastikune asend

Eukleidese kolmemõõtmelises geomeetrias võivad kaks eri sirget:

• lõikuda ühes punktis;
• olla paralleelsed;
• olla kiivsed, st mitte lõikuda ega olla paralleelsed.

Kui kaks sirget lõikuvad ja moodustavad täisnurga, on nad ristuvad.

Eukleidese geomeetrias on paralleelsus seotud paralleelide postulaadiga. Selle kohaselt läbib antud sirgel mitte asuvat punkti parajasti üks antud sirgega paralleelne sirge. See postulaat on võrdväärne Eukleidese viienda postulaadiga.

Sirge tasandil

Parameetriline kuju

Kasutatakse üldvõrrandi ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ parameetrilist kuju ${\displaystyle L=\left\{{\begin{array}{c}x=x_{0}+ta\\y=y_{0}+tb\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} }$

Joonised

• 
  Võrrandiga ${\displaystyle y=4x-1}$ määratud sirge.
• 
  Parameetrilise võrranditega ${\displaystyle x_{1}=3+t}$, ${\displaystyle .x_{2}=3-t}$ määratud sirge.
• 
  Sirged tasandil.

Ristuvad sirged

Sirged on risti parajasti siis, kui nende sihivektorite tadamskalaarkorrutis on ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle {\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}=0}$

Paralleelsed sirged

Sirged on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutise moodul on ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle |{\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}|=1}$

Kahte punkti saab läbida vaid üks sirge

Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti parajasti üks sirge.

tõusu ja algordinaadiga

Tõusu (k) ja algordinaadiga (a) määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle y=kx+a}$.

kahe punktiga

Kahe punktiga määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$.

punkti ja sihivektoriga

Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}}$.

punkti ja tõusuga

Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})}$.

kahe tasandi lõikena

Kahe tasandi ${\displaystyle \Pi _{1}:\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}}$ ja ${\displaystyle \Pi _{2}:\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}}$ lõike sirge, kus ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$ on normaal vektor, on antud

${\displaystyle \mathbf {r} =(c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2})+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})}$

kus

${\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}.}$

Sirge kaugus punktist ℝ³ ruumis

Olgu antud sirge ${\displaystyle u}$ ja punkt ${\displaystyle D(x_{1};y_{1};z_{1})}$. Olgu sirge ${\displaystyle u}$ sihivektoriks ${\displaystyle {\overrightarrow {s}}=(s_{x};s_{y};s_{z})}$, siis leiame punkti ${\displaystyle X=(x;y;z)}$ sirgel, mis asub sirgel ${\displaystyle u}$ ja mille kaugus on vähim punkti ${\displaystyle D(x_{1};y_{1};z_{1})}$. Selleks lahendame võrrandid:

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}={\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {z-z_{1}}{s_{z}}}}$

Siis leiame vektori ${\displaystyle {\overrightarrow {DX}}}$ ja selle pikkuse ${\displaystyle r=\left|\left|{\overrightarrow {DX}}\right|\right|}$, mis on punkti kaugus sirgest:

${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right){}^{2}+\left(y-y_{1}\right){}^{2}+\left(z-z_{1}\right){}^{2}}}}$

Sirgete kaugus ruumis

Olgu antud sirged ${\displaystyle u}$ ja ${\displaystyle v}$. Sellest leiame vastavad sihivektorid ${\displaystyle {\overrightarrow {s_{1}}}}$ ning ${\displaystyle {\overrightarrow {s_{2}}}}$ ja suvalised punktid mõlemal sirgel vastavalt ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$.

Puutuja

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {}{}}(f'(x))(x-x_{1})}$

Normaal

${\displaystyle y-y_{1}=\left({\frac {-1}{f'(x)}}\right)(x-x_{1})}$