Tetratsioon

Tetratsioon ehk hüper-4 on matemaatiline tehe, mis kujutab endast korduvat astendamist. See on aritmeetiliste tehete reas järgmine samm pärast liitmist, korrutamist ja astendamist, olles järjekorras neljas hüperoperatsioon. Sõna ise tuleneb kreekakeelsest eesliitest tetra- (neli) ja sõnast iteratsioon (kordus).

Kui korrutamine on korduv liitmine ja astendamine on korduv korrutamine, siis tetratsioon on korduv astendamine.

0. Hüper-0: Järglasfunktsioon $b + 1$ või $a [0] b$ , mis on defineeritud kui $\underset{b kordselt 1}{\underset{⏟}{1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 + 1}} + 1$

1. Hüper-1: Liitmine $a + b$ või $a [1] b$ , mis on defineeritud kui $a + \underset{b kordselt 1}{\underset{⏟}{1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 + 1}}$

2. Hüper-2: Korrutamine $a \times b$ või $a [2] b$ , mis on defineeritud kui $\underset{b kordselt a}{\underset{⏟}{a + a + a + \dots + a + a + a}}$

3. Hüper-3: Astendamine $a^{b}$ või $a [3] b$ , mis on defineeritud kui $\underset{b kordselt a}{\underset{⏟}{a \times a \times a \times \dots \times a \times a \times a}}$

4. Hüper-4: Tetratsioon $^{b} a$ või $a [4] b$ , mis on defineeritud kui $\underset{b kordselt a}{\underset{⏟}{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}$

5. Hüper-5: Pentatsioon $_{b} a$ või $a [5] b$ , mis on defineeritud kui $\underset{b kordselt a}{\underset{⏟}{a [4] (a [4] (a [4] (\dots [4] (a [4] (a [4] a)) \dots)))}}$

6. Hüper-6: Heksatsioon $a [6] b$ , mis on defineeritud kui $\underset{b kordselt a}{\underset{⏟}{a [5] (a [5] (a [5] (\dots [5] (a [5] (a [5] a)) \dots)))}}$

Korduva astendamisena defineerituna tähistus $^{n} a$ tähendab $a^{\cdot^{\cdot^{a^{a}}}}$ , kus $a$ on $n$ kordselt itereeritud astendamisel, st astendajana $n$ -1 korda. Tetratsioonifunktsioonis $^{n}$ on tetratsioonifunktsiooni kõrgus ja $a$ on tetratsioonifunktsiooni alus, sarnaselt astendamisele. Funktsiooni loetakse nagu " $n$ -s tetratsioon $a$ -st". Näiteks neljas tetratsioon kahest on $^{4} 2 = 2^{(2^{(2^{2})})} = 2^{(2^{4})} = 2^{16} = 65536$ .

Tetratsiooni kasutatakse väga suurte arvude tähistamiseks.

Tetratsiooni saab defineerida ka rekursiivselt järgmiselt:

a ↑ ↑ n := {\begin{matrix} 1 & kui n = 0, \\ a^{a ↑ ↑ (n - 1)} & kui n > 0. \end{matrix}

Selline vorm võimaldab tetratsiooni kõrguse $^{n}$ -na lisaks naturaalarvudele kasutada ka näiteks reaalarve, kompleksarve ja järgarve.

Tähistamine

Tetratsioonil pole üheselt defineeritud matemaatilist tähistust, enamasti kasutatakse siiski Knuthi ülessuunatud nooltega tähistust $a ↑ ↑ n$ , vasakpoolset eksponenti $^{n} a$ või hüperoperatsiooni tähistust $a [4] n$ . Lihttekstis kasutatakse tetratsiooni tähistuseks sagedamini topelttirki: a^^n.

Nimetus	Kuju	Kirjeldus
Standardne kuju	$^{n} a$	Seda kuju kasutasid (Maurer) [1901] ja Goodstein [1947]; laiemalt tuntuks saanud Rudy Ruckeri raamatu «Infinity and the Mind» järgi.
Knuthi ülesnoole-notatsioon	$a ↑ ↑ n$	Võimaldab pikendamist täiendavate või indekseeritud noolte lisamisega.
Conway ahel	$a \to n \to 2$	Võimaldab pikendamist, lisades 2 (ekvivalentne eespool kirjeldatud meetodile).
Ackermanni funktsioon	$^{n} 2 = A (4, n - 3) + 3$	Võimaldab erilist sündmust $a = 2$ Ackermanni funktsiooni mõistes.
Iteratiivne eksponentsiaalne tähistus	$^{n} a = \exp_{a}^{n} (1)$	Võimaldab lihtsat laiendamist iteratiivsetele eksponentidele, alustades väärtustelt väljaspool 1.
Hooshmandi tähistusviisid	${u x p}_{a} n, a^{\frac{n}{}}$	Kasutanud M. H. Hoosmand [2006].
Hüperoperaatori tähistusviisid	$a [4] n, a^{(4)} n, {h y p e r}_{4} (a, n)$	Võimaldab pikendamist, lisades 4; See annab hüperoperaatorite perekonna.
ASCII tähistusviis	`a^^n`	Kuna ülespoole suunatud noolt kasutatakse identselt tirgiga (`^`), saab tetratsiooni tehtemärki kirjutada kui (`^^`).
Browseri massiivitähistusviis	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (torniastmete arvu näitavate tirkidega).

Üks ülaltoodud tähistusviisidest kasutab iteratiivsete eksponentide süsteemi, mis on defineeritud järgmiselt:

\exp_{a}^{n} (x) = \underset{n}{\underset{⏟}{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^{x}}}}}}}} .

Iteratiivsete eksponentide jaoks pole eriti palju tähistusi, mõned neist on toodud allpool:

Nimi	Kuju	Kirjeldus
Standardne tähistusviis	$\exp_{a}^{n} (x)$	Tähistusviisi $\exp_{a} (x) = a^{x}$ ja iteratiivset salvestussüsteemi $f^{n} (x)$ tutvustas Euler
Knuthi ülesnoole-notatsioon	$(a ↑)^{n} (x)$	Võimaldab suurendada noolte arvu superastendamise ja supereksponentsiaalsete funktsioonide jaoks.
Hüper-E tähistusviis	E(a)x#n	Standardmärgistuse põhjal; on ASCII-sõbralik.
Ioannis Galidakise tähistusviis	$^{n} (a, x)$	Võimaldab alusena kasutada suuri avaldisi.
ASCII (inkrementaalne)	`a^^n@x`	See põhineb vaatel, et iteratiivne eksponent on täiendav tetratsioon.
ASCII (standard)	`exp_a^n(x)`	Põhineb standardsel notatsioonivormil.
J tähistusviis	`x^^:(n-1)x`	Kordab eksponentsiatsiooni. Vaata ka J programmeerimiskeel.
Lõpmatustõkkega tähistusviis	$^{n} a \| x$	Jonathan Bowers mõtles selle välja ja seda saab kasutada ka kõrgemate hüperoperatsioonide jaoks

Tetratsiooni omadused

Tetratsioon ei ole elementaarfunktsioon (välja arvatud juhtudel, kus loomulik eksponent on konstantne, kui tetratsioon väljendatakse konstantse kõrgusega astmetornina). Kuna tetraratsioon on mittekommutatiivne, on tal kaks pöördoperatsiooni: superjuur ( ${\sqrt[n]{x}}_{s}$ või ${\sqrt[4]{x}}_{s}$ ) ja superlogaritm ( ${slog}_{a} x$ või $\log_{a}^{4} x$ ), mis on tetratsiooni pöördtehetena analoogid vastavalt juurimisele ja logaritmimisele. Ka pöördfunktsioonide puhul ei ole tegemist elementaarfunktsioonidega.

Tetratsioon on üks näide funktsioonist, millel on hüperboolne kasv, see tähendab, et väärtuse absoluutne kasvutempo on proportsionaalne väärtuse ruuduga, see näeb välja nii: $(^{x} n)^{'} = {(^{x} n)}^{2}$ , ehk lihtsamalt öeldes suureneb kasv koos täiendava kiirendusega. Funktsiooni $^{n} x$ kohta kehtib ${(^{n} x)}^{2} > (^{n} x)^{'} >^{n} x$ .

Enamasti ei kehti tetraratsiooni korral madalamate hüperfunktsioonide omadused,

$^{b} (^{c} a) \neq^{c} (^{b} a)$ , näiteks: $^{2} (^{2} 2) = (^{2} 2)^{(^{2} 2)} = 4^{4} = 2^{8} = 256$ , aga

^{3} (^{2} 2) = (^{2} 2)^{(^{2} 2)^{(^{2} 2)}} = 4^{4^{4}} = 4^{256} = 2^{512} \approx 1.34078 \cdot 1 0^{154}

, aga

^{2} (^{3} 2) = (^{3} 2)^{(^{3} 2)} = 1 6^{16} = 4^{32} = 2^{64} = 18 446 744 073 709 551 616

, aga

^{2} (^{2} 3) = (^{2} 3)^{(^{2} 3)} = 2 7^{27} = 3^{81} = 443 426 488 243 037 769 948 249 630 619 149 892 803

.

$^{b + c} a$ ei võrdu ei $^{b} a +^{c} a$ , ega ka $^{b} a \times^{c} a$ , näiteks:

^{1 + 3} 2 =^{4} 2 = 2^{16} \neq^{1} 2 +^{2} 2 +^{3} 2 \neq^{1} 2 \times^{2} 2 \times^{3} 2

, samuti

^{1 + 2} 3 =^{3} 3 = 3^{27} \neq^{1} 3 +^{2} 3 \neq^{1} 3 \times^{2} 3

, kuna

^{1} 2 +^{2} 2 +^{3} 2 = 22;^{1} 2 \times^{2} 2 \times^{3} 2 = 128

ning

^{1} 3 +^{2} 3 = 30;^{1} 3 \times^{2} 3 = 81

.

Märkus: siiski kehtib $\underset{b}{\underset{⏟}{\log_{a} \log_{a} ... \log_{a}}} (^{b + c} a) =^{c} a$ või $\underset{c}{\underset{⏟}{\log_{a} \log_{a} ... \log_{a}}} (^{b + c} a) =^{b} a$ .

Tetraratsioon miinus ühest võrdub miinus üks:

$^{n} (- 1) = \underset{n}{\underset{⏟}{(- 1)^{(- 1)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{(- 1)}}}}}}} = - 1, n > 0$

Terminoloogia

Tetratsioonifunktsiooni puhul on kasutatud erinevaid termineid ja igal neist on oma loogika, kuid mõned neist pole ühel või teisel põhjusel üldtunnustatud. Siin on mõned näited:

Mõiste "tetratsioon", mida kasutas Ruben Goodstein 1947. aastal oma töös "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory" (Goodsteini teoreemi kordusrepresentatsioonide üldistus kõrgemate operaatorite puhul), omab terminoloogias domineerivat positsiooni. Seda terminit populariseeris ka Rudy Rucker raamatus "Infinity and the Mind".
Mõistet "supereksponentatsioon" kasutas Bromer oma 1987. aastal töös "Superexponentiation". Seda terminit on varem kasutanud Ed Nelson oma raamatus "Predicative Arithmetic".
Mõiste "hüperastendamine" on loomulik kombinatsioon mõistetest "hüper-" ja "aste", mis kirjeldab tabavalt tetraratsiooni. Probleem seisneb siin aga just mõistes "hüper-", mis tekib seoses hüperoperaatorite hierarhiaga.
Mõistet "astmetorn" kasutatakse mõnikord ka kujul " $n$ - järku astme torn" $\underset{n}{\underset{⏟}{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}}$ kohta.

. Tetratsiooni aetakse sageli segi teiste tihedalt seotud funktsioonide ja avaldistega. Allpool on mõned seotud terminid:

Kuju	Termin
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}$	Tetratsioon
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^{x}}}}}}$	Iteratiivsed eksponendid
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_{n}}}}}}$	Pesastatud eksponendid (tuntud ka kui tornid)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$	Lõpmatud eksponendid (ka tornid)

Esimeses kahes avaldises $a$ on alus ja nende $a$ -de arv on kõrgus. Kolmandas avaldises, $a$ on kõrgus, kuid kõik alused on erinevad.