Osajoukko

Joukko B on joukon A osajoukko, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon A, merkitään ${\displaystyle B\subset A}$. Tällöin sanotaan myös, että B sisältyy joukkoon A. Kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa kutsutaan potenssijoukoksi ja merkitään ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$.

Formaalisti määritellään, että

${\displaystyle B\subset A}$, kun ${\displaystyle \forall b\in B:b\in B\Rightarrow b\in A}$.

Joukko B on joukon A aito osajoukko, jos se on joukon A osajoukko, mutta B ei ole sama kuin A, B ≠A. Aitoa osajoukkoa merkitään ${\displaystyle A\subsetneq B}$ (joskus taas edellä esitetystä poiketen ${\displaystyle B\subset A}$, jolloin osajoukkoa merkitäänkin ${\displaystyle B\subseteq A}$).

Jokainen joukko C on itsensä osajoukko, ${\displaystyle C\subseteq C}$. Tyhjä joukko ∅ on jokaisen joukon osajoukko ja aito osajoukko jokaiselle joukolle paitsi itselleen.

Kun joukossa on n alkiota, siitä voidaan muodostaa ${\displaystyle \scriptstyle 2^{n}}$ osajoukkoa.

Erityisesti: ${\displaystyle \subseteq }$ tarkoittaa aina osajoukkoa, ${\displaystyle \subsetneq }$ aina aitoa osajoukkoa ja ${\displaystyle \subset }$ yleensä osajoukkoa (myös tällä sivulla muttei kaikkialla Wikipediassa) mutta joissain teoksissa aitoa osajoukkoa.

Esimerkkejä:

1. Joukko {1, 2} on joukon {1, 2, 3} aito osajoukko.

Sen kaikki osajoukot ovat ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

2. ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

3. Joukko A₀ = {b ∈ R : b ≤ 0} on joukon A₁ = {b ∈ R : b ≤ 1} osajoukko.

4. Joukko S = {Merkurius, Venus, Maa} on joukon P = {Aurinkokuntamme planeetat} osajoukko.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma – Virtanen, Ari – Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001. ISBN 951-44-3604-0
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Osajoukko Wikimedia Commonsissa