Junioriura
QMJHL-joukkue Rimouski Océanic varasi Biegan vuoden 2004 CHL:n varaustilaisuudessa ensimmäisellä kierroksella. Biega päätti kuitenkin pelata Salisburyn yliopiston jääkiekkojoukkueessa. Vuonna 2005 Saint John Sea Dogs varasi hänet QMJHL:n laajennusvarauksessa, mutta hän ei pelannut Saint Johnissa. Yhden kauden Salisburyssa pelattuaan Biega siirtyi Harvardin yliopistoon, jossa pelasi neljän kauden ajan. Hänet valittiin ensimmäisellä kaudellaan NCAA:n tulokkaiden tähdistökentälliseen. Biega valittiin myös joukkueensa arvokkaimmaksi pelaajaksi. Kausina 2007–2008 ja 2008–2009 Biega valittiin kolmanteen tähdistökentälliseen. Viimeisenä vuotenaan Harvardissa hän oli joukkueen kapteeni. Neljän Harvardin kauden aikana Biega teki 15 maalia ja 70 tehopistettä pelaamissaan 131 ottelussa. Lisäksi hän keräsi 144 rangaistusminuuttia.
Buffalo Sabres varasi Biegan viidennellä kierroksella 147. pelaajana NHL:n vuoden 2006 varaustilaisuudessa, mutta Biega ei tehnyt Sabresin kanssa sopimusta, koska olisi tuolloin menettänyt oikeutensa pelata NCAA:ssa. 27. toukokuuta 2010, valmistumisensa jälkeen Biega teki kaksivuotisen tulokassopimuksen Sabresin kanssa.
Ammattilaisura
Biega teki ammattilaisdebyyttinsä 9. lokakuuta 2010 AHL:n Portland Piratesissa. Hän teki iski ensimmäisen maalinsa 20. marraskuuta Piratesin voittaessa 2–1 Worcester Sharksin. Hän pelasi tulokaskautensa aikana AHL:ssä 61 ottelua, joissa teki kolme maalia ja 18 tehopistettä. Pudotuspeleissä hän pelasi 12 ottelua ja teki niissä yhden maalin sekä yhden syöttöpisteen.
Kauden 2011–2012 Biega aloitti Sabresin uudessa AHL-farmijoukkueessa Rochester Americansissa. Häntä ei nostettu NHL-kokoonpanoon kauden aikana. Rochesterissa hän teki 65 ottelussa viisi maalia ja 23 tehopistettä. Kahdessa pudotuspeliottelussa hän sai kaksi syöttöpistettä. Biega pelasi myös kauden 2012–2013 kokonaan AHL:ssä, jossa pelasi Rochesterissa 72 ottelua ja teki niissä viisi maalia sekä 25 tehopistettä. Pudotuspeleissä kolmessa ottelussa hän syötti kaksi maalia.
Biega solmi vapaana agenttina 5. heinäkuuta 2013 Vancouver Canucksin kanssa yhden vuoden mittaisen pelaajasopimuksen. Hän pelasi kauden 2013–2014 Vancouverin farmijoukkue Utica Cometsissa, jossa teki 22 tehopistettä. Heinäkuussa 2014 Biega teki yhden vuoden jatkosopimuksen Canucksin kanssa.
Kaudella 2014–2015 Biega teki Uticassa 10 pistettä 25 ottelussa, jonka jälkeen hänet nostettiin Canucksin NHL-kokoonpanoon. Biega debytoi NHL:ssä 16. helmikuuta 2015. Hän teki ensimmäisessä ottelussa maalin iskiessään 3–2 -voittomaalin Minnesota Wildia vastaan. Hän pelasi kauden 2014–2015 aikana seitsemän NHL-ottelua. AHL:ssä Biega pelasi Uticassa 62 ottelua, joissa teki 19 tehopistettä. Lisäksi hän pelasi 23 pudotuspeliottelua Utican edettyä AHL:n finaaliin, jossa se kuitenkin hävisi Calder Cupin Manchester Monarchsille.
Biega teki kaksivuotisen yhden suunnan jatkosopimuksen Canucksin kanssa 2. helmikuuta 2016.
Kanada