Beta-jakauma

Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

${\displaystyle M(t)=E(e^{tX})={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}e^{tx}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx.}$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on

${\displaystyle \mu _{n}=E(X^{n})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha +\beta +n)\Gamma (\alpha )}},}$

ja koska gammafunktiolla on ${\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}$, siitä saadaan ensimmäiset momentit

${\displaystyle E(X)=E(X^{1})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$

ja

${\displaystyle E(X^{2})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +2)}{\Gamma (\alpha +\beta +2)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha (\alpha +1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)}}.}$

Keskusmomenttien yleinen muoto on

${\displaystyle \mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})=\left(-{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)^{n}\cdot {}_{2}F_{1}\left(\alpha ,-n;\alpha +\beta$ ;{\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}\right),}

missä ${\displaystyle {}_{2}\!F_{1}}$ on hypergeometrinen funktio.

Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan

${\displaystyle \mu =E(X)=\int _{0}^{1}xf_{X}(x)\,dx=\int _{0}^{1}x{\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}x^{\alpha }(1-x)^{\beta -1}\,dx={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}B(\alpha +1,\beta )}$

${\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}={\frac {\alpha \Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}.}$

Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}.}$

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

${\displaystyle \mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}$

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

${\displaystyle g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3={\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.}$

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun ${\displaystyle \alpha >1}$ ja ${\displaystyle \beta >1}$

${\displaystyle Mo={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}$

Jos ${\displaystyle \alpha <1}$ tai ${\displaystyle \beta <1}$ voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun ${\displaystyle \alpha =\beta =1}$ on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.