Seuraura
Rasmussen on Surahammars IF:n kasvatti. Hän pelasi myöhemmät juniorivuotensa kuitenkin Västerås IK:ssa, jossa Rasmussen voitti U16 SM:n hopeaa vuonna 2006. Hän jakoi kaudella 2008–2009 seuran J20-nuorten maalipörssin voiton 19 osumallaan Daniel Näslundin kanssa. Rasmussen debytoi samalla kaudella myös Västeråsin miesten joukkueessa. Hän debytoi Ruotsin toiseksi korkeimmalla sarjatasolla HockeyAllsvenskanissa 28. lokakuuta 2008 vieraissa Bofors IK:ta vastaan. Kaikkiaan Rasmussen pelasi sarjassa kauden aikana 15 runkosarjaottelua tehopistein 2+1=3 ja viisi Kvalserien-ottelua tehopistein 3+1=4. Joukkue ei edennyt Elitserieniin, vaan jatkoi Allsvenskanissa, jossa Rasmussenin ensimmäinen kokonainen kausi 2009–2010 toi 44 runkosarjaottelussa tehot 4+13=17. Kaudella 2010–2011 hän nousi Västeråsin varakapteeniksi ja oli tehoilla 10+23=33 joukkueen kolmanneksi paras pistemies Fredrik Johanssonin kanssa.
Kaudeksi 2011–2012 Rasmussen siirtyi kaksivuotisella sopimuksella Elitserienin nousijajoukkue Växjö Lakersiin. Hän teki liigassa debyyttinsä kauden avauskierroksella 13. syyskuuta 2011 vieraissa Frölunda HC:ta vastaan. Rasmussenin tulokaskausi Elitserienissä toi 55 runkosarjaottelussa tehot 8+9=17. Kaudella 2012–2013 tehot 16+12=28 riitti joukkueen sisäisen maalipörssin voittoon ja Rasmussen oli Växjön toiseksi paras pistemies Tomi Kallion jälkeen. Tammikuussa 2013 hän teki kaksivuotisen jatkosopimuksen joukkueen kanssa.
Rasmussen nousi kaudella 2013–2014 Växjön varakapteeniksi ja hän teki Elitserienin/SHL:n yhden kauden piste-ennätyksensä tehoilla 16+24=40, joilla Rasmussen voitti joukkueen sisäisen pistepörssin. Hän ei kuitenkaan jatkanut Växjössä toista jatkosopimuskauttaan, kun NHL-varaamaton Rasmussen teki vuoden mittaisen ja kaksisuuntaisen NHL-sopimuksen Chicago Blackhawksin kanssa kesäkuussa 2014. Hän pelasi kauden 2014–2015 kokonaan AHL-joukkue Rockford IceHogsissa, jossa tulokaskausi toi 73 runkosarja- ja seitsemässä playoff-ottelussa tehot 13+14=27. Heinäkuussa 2015 Rasmussen teki vuoden mittaisen jatkosopimuksen Blackhawksin kanssa.
Kaudella 2015–2016 Rasmussen debytoi Blackhawksin NHL-joukkueessa. Hän teki NHL-debyyttinsä 8. joulukuuta 2015 Nashville Predatorsia vastaan. Rasmussen sai ottelussa jääaikaa 8.33 minuuttia. Hän teki ottelussa myös NHL-uransa avausmaalin ensimmäisellä laukauksellaan.
Ruotsi
